Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $14 x$ de $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Étape 1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $12 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x \ln (x) = 12 x$ par $4 x$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x \ln (x) = 12 x$ par $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$\ln (x) = 3$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (x) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Étape 2.6

Réécrivez l’équation comme $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = e^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $e^{3}$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3$ de l’exposant.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(e^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $7 e^{6}$ de $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(e^{3}, - e^{6})$

Étape 5