Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 2.7

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x - \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) - \sin (0)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 - 0$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$(2 π) - \sin (2 π)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 π - \sin (0)$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 π - 0$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 π + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 π$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 4 π$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $4 π$ .

$(4 π) - \sin (4 π)$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 π - \sin (0)$

Étape 4.3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 π - 0$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 π + 0$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $4 π$ et $0$ .

$4 π$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = 6 π$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $6 π$ .

$(6 π) - \sin (6 π)$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$6 π - \sin (0)$

Étape 4.4.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$6 π - 0$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 π + 0$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $6 π$ et $0$ .

$6 π$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = 8 π$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $8 π$ .

$(8 π) - \sin (8 π)$

Étape 4.5.2

Simplifiez

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$8 π - \sin (0)$

Étape 4.5.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$8 π - 0$

Étape 4.5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 π + 0$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $8 π$ et $0$ .

$8 π$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2 π, 2 π), (4 π, 4 π), (6 π, 6 π), (8 π, 8 π)$

Étape 5