Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Associez $\frac{π}{4}$ et $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2.2

Associez $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ et $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $\sec (\frac{π x}{4})$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Définissez $\sec (\frac{π x}{4})$ égal à $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Étape 2.3.2.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $\tan (\frac{π x}{4})$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $\tan (\frac{π x}{4})$ égal à $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Étape 2.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Étape 2.3.3.2.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π x = 0$

Étape 2.3.3.2.4

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Étape 2.3.3.2.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Étape 2.3.3.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Étape 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4}{π} π$

Étape 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 4$

Étape 2.3.3.2.7

Déterminez la période de $\tan (\frac{π x}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.3.3.2.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Étape 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ est d’environ $0.78539816$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Étape 2.3.3.2.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \frac{4}{π}$

Étape 2.3.3.2.7.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$π \frac{4}{π}$

Étape 2.3.3.2.7.5.2

Réécrivez l’expression.

$4$

Étape 2.3.3.2.8

La période de la fonction $\tan (\frac{π x}{4})$ est $4$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4$ radians dans les deux sens.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ vraie.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Consolidez les réponses.

$x = 4 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (\frac{π x}{4})$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.4.1

Factorisez $π$ à partir de $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Étape 3.2.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 + 4 n$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $2$ et $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Évaluez $\sec (\frac{π x}{4})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Étape 4.1.2.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$\sec (0)$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\sec (π)$

Étape 4.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$- \sec (0)$

Étape 4.2.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 5