Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 (x - 1) (x + 2) (3 x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x - 1) (x + 2) (3 x - 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [((x - 1) (x + 2)) (3 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [((x - 1) (x + 2)) (3 x - 1)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (x - 1) (x + 2)$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 ((x - 1) (x + 2) \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $(x - 1) (x + 2)$ .

$2 (3 \cdot ((x - 1) (x + 2)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 2)])$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]))$

Étape 1.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Étape 1.1.5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + (x + 2) (1 + 0)))$

Étape 1.1.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + (x + 2) \cdot 1))$

Étape 1.1.5.8.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (x - 1 + x + 2))$

Étape 1.1.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (2 x - 1 + 2))$

Étape 1.1.5.8.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 (3 (x - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((3 x + 3 \cdot - 1) (x + 2) + (3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((3 x + 3 \cdot - 1) (x + 2)) + 2 ((3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((3 x + 3 \cdot - 1) x + (3 x + 3 \cdot - 1) \cdot 2) + 2 ((3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x + 3 \cdot - 1 x + (3 x + 3 \cdot - 1) \cdot 2) + 2 ((3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x + 3 \cdot - 1 x + 3 x \cdot 2 + 3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 ((3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 ((3 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 1.1.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 ((3 x - 1) (2 x) + (3 x - 1) \cdot 1)$

Étape 1.1.6.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x) - 1 (2 x) + (3 x - 1) \cdot 1)$

Étape 1.1.6.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x) - 1 (2 x) + 3 x \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x \cdot x) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.11.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (3 (x^{1} x)) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (3 (x^{1} x^{1})) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (3 x^{1 + 1}) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + 2 (3 \cdot - 1 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.7

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$6 x^{2} - 6 x + 2 (3 x \cdot 2) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + 2 (6 x) + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.9

Multipliez $6$ par $2$ .

$6 x^{2} - 6 x + 12 x + 2 (3 \cdot - 1 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 12 x + 2 (- 3 \cdot 2) + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.11

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$6 x^{2} - 6 x + 12 x + 2 \cdot - 6 + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.12

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$6 x^{2} - 6 x + 12 x - 12 + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.13

Additionnez $- 6 x$ et $12 x$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (3 x (2 x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.14

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (6 x \cdot x) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (6 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (6 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (6 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.19

Multipliez $6$ par $2$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} + 2 (- 1 (2 x)) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.20

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.21

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} - 4 x + 2 (3 x \cdot 1) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.22

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} - 4 x + 2 (3 x) + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.23

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} - 4 x + 6 x + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.6.11.24

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} - 4 x + 6 x + 2 \cdot - 1$

Étape 1.1.6.11.25

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} - 4 x + 6 x - 2$

Étape 1.1.6.11.26

Additionnez $- 4 x$ et $6 x$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 12 x^{2} + 2 x - 2$

Étape 1.1.6.11.27

Additionnez $6 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 6 x - 12 + 2 x - 2$

Étape 1.1.6.11.28

Additionnez $6 x$ et $2 x$ .

$18 x^{2} + 8 x - 12 - 2$

Étape 1.1.6.11.29

Soustrayez $2$ de $- 12$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + 8 x - 14$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 x^{2} + 8 x - 14$ .

$18 x^{2} + 8 x - 14$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $18 x^{2} + 8 x - 14 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$18 x^{2} + 8 x - 14 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2} + 8 x - 14$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$2 (9 x^{2}) + 8 x - 14 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$2 (9 x^{2}) + 2 (4 x) - 14 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$2 (9 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 7) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$2 (9 x^{2} + 4 x) + 2 (- 7) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{2} + 4 x) + 2 (- 7)$ .

$2 (9 x^{2} + 4 x - 7) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 (9 x^{2} + 4 x - 7) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (9 x^{2} + 4 x - 7) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (9 x^{2} + 4 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 x^{2} + 4 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $9 x^{2} + 4 x - 7$ par $1$ .

$9 x^{2} + 4 x - 7 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$9 x^{2} + 4 x - 7 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 4$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 7)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 7$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 252}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $16$ et $252$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 7$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 252}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $16$ et $252$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.7.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{67})}{9}$

Étape 2.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{67})}{9}$

Étape 2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 - \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 7$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 7}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 252}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.3

Additionnez $16$ et $252$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{67}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.8.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{67})}{9}$

Étape 2.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{67})}{9}$

Étape 2.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 + \sqrt{67}}{9}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - \sqrt{67}}{9}, - \frac{2 + \sqrt{67}}{9}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 (x - 1) (x + 2) (3 x - 1)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{2 - \sqrt{67}}{9}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}$ .

$2 ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1) ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}) ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}) ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- (2 - \sqrt{67}) - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{- 1 \cdot 2 - - \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \frac{- 2 - - \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $- - \sqrt{67}$ .

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Étape 4.1.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \frac{- 2 + 1 \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3.3.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$2 \frac{- 2 + \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$2 \frac{- 2 + \sqrt{67} - 9}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.3.5

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$2 \frac{- 11 + \sqrt{67}}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{- 11 + \sqrt{67}}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} ((- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9} + 2 \cdot \frac{9}{9}) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.6.1

Associez $2$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9} + \frac{2 \cdot 9}{9}) (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- (2 - \sqrt{67}) + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 - - \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 - - \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7.3

Multipliez $- - \sqrt{67}$ .

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Étape 4.1.2.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 + 1 \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7.3.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{67} + 18}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.7.5

Additionnez $- 2$ et $18$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{16 + \sqrt{67}}{9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{16 + \sqrt{67}}{9}$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $\frac{2 (- 11 + \sqrt{67})}{9}$ par $\frac{16 + \sqrt{67}}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67}) (16 + \sqrt{67})}{9 \cdot 9} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{2 (- 11 + \sqrt{67}) (16 + \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.9

Regroupez $16 + \sqrt{67}$ et $- 11 + \sqrt{67}$ .

$\frac{2 ((16 + \sqrt{67}) (- 11 + \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.10

Développez $(16 + \sqrt{67}) (- 11 + \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 (- 11 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (- 11 + \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 \cdot - 11 + 16 \sqrt{67} + \sqrt{67} (- 11 + \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 \cdot - 11 + 16 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot - 11 + \sqrt{67} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.11.1.1

Multipliez $16$ par $- 11$ .

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot - 11 + \sqrt{67} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.1.2

Déplacez $- 11$ à gauche de $\sqrt{67}$ .

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} - 11 \cdot \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} - 11 \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.1.4

Multipliez $67$ par $67$ .

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} - 11 \sqrt{67} + \sqrt{4489})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.1.5

Réécrivez $4489$ comme $67^{2}$ .

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} - 11 \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 (- 176 + 16 \sqrt{67} - 11 \sqrt{67} + 67)}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.2

Additionnez $- 176$ et $67$ .

$\frac{2 (- 109 + 16 \sqrt{67} - 11 \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.11.3

Soustrayez $11 \sqrt{67}$ de $16 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.1.2.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.12.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.12.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 - \sqrt{67})}{9} - 1)$

Étape 4.1.2.12.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 - \sqrt{67})}{3 (3)} - 1)$

Étape 4.1.2.12.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 - \sqrt{67})}{3 \cdot 3} - 1)$

Étape 4.1.2.12.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (\frac{- (2 - \sqrt{67})}{3} - 1)$

Étape 4.1.2.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 - \sqrt{67}}{3} - 1)$

Étape 4.1.2.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 - \sqrt{67}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.1.2.14

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.14.1

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 - \sqrt{67}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Étape 4.1.2.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- (2 - \sqrt{67}) - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 - - \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 - - \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15.3

Multipliez $- - \sqrt{67}$ .

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Étape 4.1.2.15.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 + 1 \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15.3.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{67} - 3}{3}$

Étape 4.1.2.15.5

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 5 + \sqrt{67}}{3}$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 5 + \sqrt{67}}{3}$ .

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Étape 4.1.2.16.1

Multipliez $\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67})}{81}$ par $\frac{- 5 + \sqrt{67}}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67}) (- 5 + \sqrt{67})}{81 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.16.2

Multipliez $81$ par $3$ .

$\frac{2 (- 109 + 5 \sqrt{67}) (- 5 + \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.1.2.17

Regroupez $- 5 + \sqrt{67}$ et $- 109 + 5 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 ((- 5 + \sqrt{67}) (- 109 + 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.18

Développez $(- 5 + \sqrt{67}) (- 109 + 5 \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 (- 109 + 5 \sqrt{67}) + \sqrt{67} (- 109 + 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 \cdot - 109 - 5 (5 \sqrt{67}) + \sqrt{67} (- 109 + 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 \cdot - 109 - 5 (5 \sqrt{67}) + \sqrt{67} \cdot - 109 + \sqrt{67} (5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.19.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 109$ .

$\frac{2 (545 - 5 (5 \sqrt{67}) + \sqrt{67} \cdot - 109 + \sqrt{67} (5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot - 109 + \sqrt{67} (5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.3

Déplacez $- 109$ à gauche de $\sqrt{67}$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \cdot \sqrt{67} + \sqrt{67} (5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.4

Multipliez $\sqrt{67} (5 \sqrt{67})$ .

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Étape 4.1.2.19.1.4.1

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 ({\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.4.2

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 ({\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1}))}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 {\sqrt{67}}^{1 + 1})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 {\sqrt{67}}^{2})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

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Étape 4.1.2.19.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{2}{2}})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.19.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{2}{2}})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{1})}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67)}{243}$

Étape 4.1.2.19.1.6

Multipliez $5$ par $67$ .

$\frac{2 (545 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67} + 335)}{243}$

Étape 4.1.2.19.2

Additionnez $545$ et $335$ .

$\frac{2 (880 - 25 \sqrt{67} - 109 \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.1.2.19.3

Soustrayez $109 \sqrt{67}$ de $- 25 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 (880 - 134 \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{2 + \sqrt{67}}{9}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}$ .

$2 ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1) ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}) ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}) ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- (2 + \sqrt{67}) - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \frac{- 2 - \sqrt{67} - 1 \cdot 9}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$2 \frac{- 2 - \sqrt{67} - 9}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.3.4

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$2 \frac{- 11 - \sqrt{67}}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.4

Associez $2$ et $\frac{- 11 - \sqrt{67}}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} ((- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) + 2) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9} + 2 \cdot \frac{9}{9}) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.6

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.6.1

Associez $2$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9} + \frac{2 \cdot 9}{9}) (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- (2 + \sqrt{67}) + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{67} + 2 \cdot 9}{9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.7.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{67} + 18}{9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.7.4

Additionnez $- 2$ et $18$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{16 - \sqrt{67}}{9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9} \cdot \frac{16 - \sqrt{67}}{9}$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Multipliez $\frac{2 (- 11 - \sqrt{67})}{9}$ par $\frac{16 - \sqrt{67}}{9}$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67}) (16 - \sqrt{67})}{9 \cdot 9} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{2 (- 11 - \sqrt{67}) (16 - \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.9

Regroupez $16 - \sqrt{67}$ et $- 11 - \sqrt{67}$ .

$\frac{2 ((16 - \sqrt{67}) (- 11 - \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.10

Développez $(16 - \sqrt{67}) (- 11 - \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 (- 11 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (- 11 - \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 \cdot - 11 + 16 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (- 11 - \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (16 \cdot - 11 + 16 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot - 11 - \sqrt{67} (- \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.11.1.1

Multipliez $16$ par $- 11$ .

$\frac{2 (- 176 + 16 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot - 11 - \sqrt{67} (- \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot - 11 - \sqrt{67} (- \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.3

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67}))}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4

Multipliez $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ .

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Étape 4.2.2.11.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4.3

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4.4

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

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Étape 4.2.2.11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 67^{1})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (- 176 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67} + 67)}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.2

Additionnez $- 176$ et $67$ .

$\frac{2 (- 109 - 16 \sqrt{67} + 11 \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.11.3

Additionnez $- 16 \sqrt{67}$ et $11 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (3 (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}) - 1)$

Étape 4.2.2.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.12.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.12.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 + \sqrt{67})}{9} - 1)$

Étape 4.2.2.12.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 + \sqrt{67})}{3 (3)} - 1)$

Étape 4.2.2.12.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (3 \frac{- (2 + \sqrt{67})}{3 \cdot 3} - 1)$

Étape 4.2.2.12.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (\frac{- (2 + \sqrt{67})}{3} - 1)$

Étape 4.2.2.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 + \sqrt{67}}{3} - 1)$

Étape 4.2.2.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 + \sqrt{67}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.2.2.14

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.14.1

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} (- \frac{2 + \sqrt{67}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Étape 4.2.2.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- (2 + \sqrt{67}) - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.15.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{67} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.15.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{67} - 3}{3}$

Étape 4.2.2.15.4

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 5 - \sqrt{67}}{3}$

Étape 4.2.2.16

Multipliez $\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81} \cdot \frac{- 5 - \sqrt{67}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.16.1

Multipliez $\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67})}{81}$ par $\frac{- 5 - \sqrt{67}}{3}$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67}) (- 5 - \sqrt{67})}{81 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.16.2

Multipliez $81$ par $3$ .

$\frac{2 (- 109 - 5 \sqrt{67}) (- 5 - \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.2.2.17

Regroupez $- 5 - \sqrt{67}$ et $- 109 - 5 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 ((- 5 - \sqrt{67}) (- 109 - 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.18

Développez $(- 5 - \sqrt{67}) (- 109 - 5 \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 (- 109 - 5 \sqrt{67}) - \sqrt{67} (- 109 - 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 \cdot - 109 - 5 (- 5 \sqrt{67}) - \sqrt{67} (- 109 - 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 \cdot - 109 - 5 (- 5 \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot - 109 - \sqrt{67} (- 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.19.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.19.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 109$ .

$\frac{2 (545 - 5 (- 5 \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot - 109 - \sqrt{67} (- 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot - 109 - \sqrt{67} (- 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.3

Multipliez $- 109$ par $- 1$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} - \sqrt{67} (- 5 \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.4

Multipliez $- \sqrt{67} (- 5 \sqrt{67})$ .

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Étape 4.2.2.19.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \sqrt{67} \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.4.2

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 ({\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67}))}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.4.3

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 ({\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1}))}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 {\sqrt{67}}^{1 + 1})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 {\sqrt{67}}^{2})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

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Étape 4.2.2.19.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{2}{2}})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.19.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{\frac{2}{2}})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67^{1})}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 5 \cdot 67)}{243}$

Étape 4.2.2.19.1.6

Multipliez $5$ par $67$ .

$\frac{2 (545 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67} + 335)}{243}$

Étape 4.2.2.19.2

Additionnez $545$ et $335$ .

$\frac{2 (880 + 25 \sqrt{67} + 109 \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.2.2.19.3

Additionnez $25 \sqrt{67}$ et $109 \sqrt{67}$ .

$\frac{2 (880 + 134 \sqrt{67})}{243}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{2 - \sqrt{67}}{9}, \frac{2 (880 - 134 \sqrt{67})}{243}), (- \frac{2 + \sqrt{67}}{9}, \frac{2 (880 + 134 \sqrt{67})}{243})$

Étape 5