Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$9 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $9 x^{2} + 24 x + 16$ et $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 16 = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 4^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

Étape 2.2.4

Réécrivez le polynôme.

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 4$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4}{3}$ .

$3 {(- \frac{4}{3})}^{3} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{64}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{64}{27}$ dans le numérateur.

$3 (\frac{- 64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 \frac{- 64}{3 (9)} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- 64}{3 \cdot 9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{16}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (\frac{16}{9}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- \frac{64}{9} + 3 (4) \frac{16}{9} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.12.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64}{9} + 4 (\frac{16}{3}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.13

Associez $4$ et $\frac{16}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{4 \cdot 16}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.14

Multipliez $4$ par $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.15

Multipliez $16 (- \frac{4}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - 16 (\frac{4}{3}) - 5$

Étape 4.1.2.1.15.2

Associez $- 16$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 16 \cdot 4}{3} - 5$

Étape 4.1.2.1.15.3

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 64}{3} - 5$

Étape 4.1.2.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - \frac{64}{3} - 5$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{64 - 64}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $64$ de $64$ .

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Étape 4.1.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.3.1

Écrivez $- 5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 5}{1} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Étape 4.1.2.3.4

Multipliez $\frac{0}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.3.5

Multipliez $\frac{0}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{9}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 \cdot 9 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0}{9}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.6.1

Soustrayez $64$ de $- 45$ .

$\frac{- 109 + 0}{9}$

Étape 4.1.2.6.2

Additionnez $- 109$ et $0$ .

$\frac{- 109}{9}$

Étape 4.1.2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{109}{9}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{109}{9})$

Étape 5