Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ comme une équation.

$y = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{5 y^{3} - 11}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 y^{3} - 11}{9} = x$ .

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $9$ .

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 y^{3} - 11 = x \cdot 9$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$5 y^{3} - 11 = 9 x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y^{3} = 9 x + 11$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = 9 x + 11$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = 9 x + 11$ par $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{9 x + 11}{5}}$

Étape 3.4.4.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{9 x + 11}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.4.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.4.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Étape 3.4.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

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Étape 3.4.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Étape 3.4.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Étape 3.4.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Étape 3.4.4.5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} \sqrt[3]{25}}{5}$

Étape 3.4.4.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(9 x + 11) \cdot 25}}{5}$

Étape 3.4.4.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(9 x + 11) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) + 11)}}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) + 11)}}{5}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} - 11 + 11)}}{5}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $- 11$ et $11$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $5 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $25$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $125 x^{3}$ comme ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Étape 5.2.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}$ comme ${(25 (9 x + 11))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(25 (9 x + 11))}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(25 (9 x) + 25 \cdot 11)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $9$ par $25$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(225 x + 25 \cdot 11)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $25$ par $11$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{({(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{225 x + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.2

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{225 x + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.3

Factorisez $25$ à partir de $225 x + 275$ .

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Étape 5.3.3.4.3.1

Factorisez $25$ à partir de $225 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x) + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.3.2

Factorisez $25$ à partir de $275$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x) + 25 (11)}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.4.3.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (9 x) + 25 (11)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5^{3}}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{125}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5 (25)}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5 \cdot 25}) - 11}{9}$

Étape 5.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{\frac{25 (9 x + 11)}{25} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.7

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{\frac{25 (9 x + 11)}{25} - 11}{9}$

Étape 5.3.3.7.2

Divisez $9 x + 11$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x + 11 - 11}{9}$

Étape 5.3.3.8

Soustrayez $11$ de $11$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Étape 5.3.3.9

Additionnez $9 x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$