Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (x^{2}) + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \ln (x^{2}) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.5

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.6

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.7

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.8

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.10.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.10.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$ et $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x \ln (x^{2}) + 2 x$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 2 x}{2 x}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 (x)}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (x^{2}) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

Étape 2.6.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

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Étape 2.6.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Étape 2.6.3.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{e}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Étape 2.6.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Étape 2.6.3.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Étape 2.6.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Étape 2.6.3.5.2

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Étape 2.6.3.5.3

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Étape 2.6.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Étape 2.6.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Étape 2.6.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{2}$ comme $e$ .

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Étape 2.6.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.6.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Étape 2.6.3.5.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Étape 2.6.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Étape 2.6.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Étape 2.6.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} \leq 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 0 |$

Étape 4.2.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| x | \leq 0$

Étape 4.2.3

Écrivez $| x | \leq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.2.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.2.3.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 0$

Étape 4.2.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.2.3.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 0$

Étape 4.2.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.2.4

Déterminez l’intersection de $x \leq 0$ et $x \geq 0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.5

Résolvez $- x \leq 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \geq 0$

Étape 4.2.5.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $x < 0$ .

Aucune solution

Étape 4.2.6

Déterminez l’union des solutions.

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.60653067$ dans l’expression.

$f' (- 1.60653067) = 2 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1.60653067$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (- 1.60653067)$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez $- 3.21306134 \ln (2.58094079)$ en déplaçant $3.21306134$ dans le logarithme.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (- 1.60653067)$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2.58094079$ à la puissance $3.21306134$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) + 2 (- 1.60653067)$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) - 3.21306134$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3.21306134$ de $- \ln (21.04108386)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 6.25953824$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 6.25953824$ .

$- 6.25953824$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.60653067$ la dérivée est $- 6.25953824$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.60653067, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.30326533$ dans l’expression.

$f' (- 0.30326533) = 2 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 0.30326533$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (- 0.30326533)$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez $- 0.60653067 \ln (0.09196986)$ en déplaçant $0.60653067$ dans le logarithme.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (- 0.30326533)$

Étape 7.2.1.4

Élevez $0.09196986$ à la puissance $0.60653067$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) + 2 (- 0.30326533)$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) - 0.60653067$

Étape 7.2.2

Soustrayez $0.60653067$ de $- \ln (0.2351902)$ .

$f' (- 0.30326533) = 0.84083002$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.84083002$ .

$0.84083002$

Étape 7.3

Sur $x = - 0.30326533$ la dérivée est $0.84083002$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 0.60653067, 0)$ .

Augmente sur $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.30326533$ dans l’expression.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $2$ par $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Étape 8.2.1.2

Élevez $0.30326533$ à la puissance $2$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (0.30326533)$

Étape 8.2.1.3

Simplifiez $0.60653067 \ln (0.09196986)$ en déplaçant $0.60653067$ dans le logarithme.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (0.30326533)$

Étape 8.2.1.4

Élevez $0.09196986$ à la puissance $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 2 (0.30326533)$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $2$ par $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 0.60653067$

Étape 8.2.2

Additionnez $\ln (0.2351902)$ et $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = - 0.84083002$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 0.84083002$ .

$- 0.84083002$

Étape 8.3

Sur $x = 0.30326533$ la dérivée est $- 0.84083002$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Diminue sur $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.60653067$ dans l’expression.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $2$ par $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Étape 9.2.1.2

Élevez $1.60653067$ à la puissance $2$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (1.60653067)$

Étape 9.2.1.3

Simplifiez $3.21306134 \ln (2.58094079)$ en déplaçant $3.21306134$ dans le logarithme.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (1.60653067)$

Étape 9.2.1.4

Élevez $2.58094079$ à la puissance $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 2 (1.60653067)$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $2$ par $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 3.21306134$

Étape 9.2.2

Additionnez $\ln (21.04108386)$ et $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = 6.25953824$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $6.25953824$ .

$6.25953824$

Étape 9.3

Sur $x = 1.60653067$ la dérivée est $6.25953824$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Étape 11