Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{9}} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{9}} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 0$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 0$

Étape 1.1.4.2.2

Additionnez $\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{9 \sqrt[9]{x^{8}}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{9 \sqrt[9]{x^{8}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$9 \sqrt[9]{x^{8}} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $9$ .

${(9 \sqrt[9]{x^{8}})}^{9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{x^{8}}$ comme $x^{\frac{8}{9}}$ .

${(9 x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(9 x^{\frac{8}{9}})}^{9}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 x^{\frac{8}{9}}$ .

$9^{9} {(x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$387420489 {(x^{\frac{8}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{8}{9}})}^{9}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$387420489 x^{\frac{8}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$387420489 x^{\frac{8}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$387420489 x^{8} = 0^{9}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$387420489 x^{8} = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $387420489 x^{8} = 0$ par $387420489$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $387420489 x^{8} = 0$ par $387420489$ .

$\frac{387420489 x^{8}}{387420489} = \frac{0}{387420489}$

Étape 4.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $387420489$ .

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Étape 4.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{387420489 x^{8}}{387420489} = \frac{0}{387420489}$

Étape 4.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{8}$ par $1$ .

$x^{8} = \frac{0}{387420489}$

Étape 4.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $387420489$ .

$x^{8} = 0$

Étape 4.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Étape 4.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{\frac{1}{9}} + 2$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{\frac{8}{9}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{9}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {({(- 1)}^{9})}^{\frac{8}{9}}}$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{9 (\frac{8}{9})}}$

Étape 6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{9 (\frac{8}{9})}}$

Étape 6.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{1}{9 {(- 1)}^{8}}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{9 \cdot 1}$

Étape 6.2.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{9}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{1}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{1}{9 {(1)}^{\frac{8}{9}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{1}{9 \cdot 1}$

Étape 7.2.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{1}{9}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{1}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Étape 9