Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{0.5 x} + 4 e^{- 0.5 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{0.5 x} + 4 e^{- 0.5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 0.5 x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $0.5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $0.5 x$ .

$e^{0.5 x} \frac{d}{d x} [0.5 x] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.2.5

Déplacez $0.5$ à gauche de $e^{0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{- 0.5 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{- 0.5 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.5 x$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.5 x$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $- 0.5$ à gauche de $e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} + 4 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 0.5$ par $4$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x} = 0$

Étape 2.2

Déplacez $- 2 e^{- 0.5 x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$0.5 e^{0.5 x} = 2 e^{- 0.5 x}$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (2 e^{- 0.5 x})$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ comme $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (2 e^{- 0.5 x})$

Étape 2.4.2

Développez $\ln (e^{0.5 x})$ en déplaçant $0.5 x$ hors du logarithme.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (2 e^{- 0.5 x})$

Étape 2.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (2 e^{- 0.5 x})$

Étape 2.4.4

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (2 e^{- 0.5 x})$

Étape 2.5

Développez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\ln (2 e^{- 0.5 x})$ comme $\ln (2) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (2) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Étape 2.5.2

Développez $\ln (e^{- 0.5 x})$ en déplaçant $- 0.5 x$ hors du logarithme.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (2) - 0.5 x \ln (e)$

Étape 2.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (2) - 0.5 x \cdot 1$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (2) - 0.5 x$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (0.5) - \ln (2) = - 0.5 x - 0.5 x$

Étape 2.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{2}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Étape 2.8

Divisez $0.5$ par $2$ .

$\ln (0.25) = - 0.5 x - 0.5 x$

Étape 2.9

Soustrayez $0.5 x$ de $- 0.5 x$ .

$\ln (0.25) = - 1 x$

Étape 2.10

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 1 x = \ln (0.25)$

Étape 2.11

Divisez chaque terme dans $- 1 x = \ln (0.25)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.11.1

Divisez chaque terme dans $- 1 x = \ln (0.25)$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.11.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1$ .

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Étape 2.11.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.1.2

Factorisez $1$ à partir de $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.2.2.1

Réécrivez $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ comme $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.11.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (0.25)}{- 1}$

Étape 2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (0.25)}{1}$

Étape 2.11.3.2

Divisez $\ln (0.25)$ par $1$ .

$x = - \ln (0.25)$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \ln (0.25)$ .

$- \ln (0.25)$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 2 e^{- 0.5 x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = e^{0.5 x} + 4 e^{- 0.5 x}$ augmente et diminue est $(- \infty, - \ln (0.25)) \cup (- \ln (0.25), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.25)) \cup (- \ln (0.25), \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \ln (0.25))$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.38629436$ dans l’expression.

$f' (0.38629436) = 0.5 e^{0.5 (0.38629436)} - 2 e^{- 0.5 \cdot 0.38629436}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $0.38629436$ .

$f' (0.38629436) = 0.5 e^{0.19314718} - 2 e^{- 0.5 \cdot 0.38629436}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $0.5$ par $e^{0.19314718}$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - 2 e^{- 0.5 \cdot 0.38629436}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 0.5$ par $0.38629436$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - 2 e^{- 0.19314718}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - 2 \frac{1}{e^{0.19314718}}$

Étape 5.2.1.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{0.19314718}}$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 + \frac{- 2}{e^{0.19314718}}$

Étape 5.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - \frac{2}{e^{0.19314718}}$

Étape 5.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - \frac{2}{{2.71828182}^{0.19314718}}$

Étape 5.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.19314718$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - \frac{2}{1.21306131}$

Étape 5.2.1.9

Divisez $2$ par $1.21306131$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - 1 \cdot 1.64872127$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $1.64872127$ .

$f' (0.38629436) = 0.60653065 - 1.64872127$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1.64872127$ de $0.60653065$ .

$f' (0.38629436) = - 1.04219061$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1.04219061$ .

$- 1.04219061$

Étape 5.3

Sur $x = 0.38629436$ la dérivée est $- 1.04219061$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \ln (0.25))$ .

Diminue sur $(- \infty, - \ln (0.25))$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \ln (0.25), \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.38629436$ dans l’expression.

$f' (2.38629436) = 0.5 e^{0.5 (2.38629436)} - 2 e^{- 0.5 \cdot 2.38629436}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $2.38629436$ .

$f' (2.38629436) = 0.5 e^{1.19314718} - 2 e^{- 0.5 \cdot 2.38629436}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $0.5$ par $e^{1.19314718}$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - 2 e^{- 0.5 \cdot 2.38629436}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 0.5$ par $2.38629436$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - 2 e^{- 1.19314718}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - 2 \frac{1}{e^{1.19314718}}$

Étape 6.2.1.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{1.19314718}}$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 + \frac{- 2}{e^{1.19314718}}$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - \frac{2}{e^{1.19314718}}$

Étape 6.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - \frac{2}{{2.71828182}^{1.19314718}}$

Étape 6.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.19314718$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - \frac{2}{3.29744254}$

Étape 6.2.1.9

Divisez $2$ par $3.29744254$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - 1 \cdot 0.60653065$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0.60653065$ .

$f' (2.38629436) = 1.64872127 - 0.60653065$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0.60653065$ de $1.64872127$ .

$f' (2.38629436) = 1.04219061$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.04219061$ .

$1.04219061$

Étape 6.3

Sur $x = 2.38629436$ la dérivée est $1.04219061$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \ln (0.25), \infty)$ .

Augmente sur $(- \ln (0.25), \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \ln (0.25), \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - \ln (0.25))$

Étape 8