Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Étape 1.1.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Étape 1.1.4.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.5.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.4.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.5.4.2

Associez $- 18$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 18}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.5.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 1.1.5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x^{3}, x^{4}, 1$

Étape 2.2.2

Comme $x^{2}, x^{3}, x^{4}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{2}, x^{3}, x^{4}$ .

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.2.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 2.2.7

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 2.2.8

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 2.2.9

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{3}, x^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 2.2.10

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.10.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.10.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.10.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 2.2.10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Étape 2.2.10.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Étape 2.2.10.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.10.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.10.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Étape 2.2.10.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1}$

Étape 2.2.10.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{4} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{18}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - 18 x - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$- x^{2} - 18 x + \frac{- 3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} - 18 x + \frac{- 3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - 18 x - 3 = 0 x^{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{4}$ .

$- x^{2} - 18 x - 3 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 18$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.3

Soustrayez $12$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.4

Réécrivez $312$ comme $2^{2} \cdot 78$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $312$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Étape 2.4.3.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.3.5

Réécrivez $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ comme $- (9 \pm \sqrt{78})$ .

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.3

Soustrayez $12$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.4

Réécrivez $312$ comme $2^{2} \cdot 78$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $312$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Étape 2.4.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ comme $- (9 \pm \sqrt{78})$ .

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.4.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - (9 + \sqrt{78})$

Étape 2.4.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 9 - \sqrt{78}$

Étape 2.4.4.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$x = - 9 - \sqrt{78}$

Étape 2.4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.3

Soustrayez $12$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.4

Réécrivez $312$ comme $2^{2} \cdot 78$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $312$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Étape 2.4.5.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Étape 2.4.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ comme $- (9 \pm \sqrt{78})$ .

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Étape 2.4.5.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - (9 - \sqrt{78})$

Étape 2.4.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 9 + \sqrt{78}$

Étape 2.4.5.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$x = - 9 + \sqrt{78}$

Étape 2.4.5.9

Multipliez $- - \sqrt{78}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - 9 + 1 \sqrt{78}$

Étape 2.4.5.9.2

Multipliez $\sqrt{78}$ par $1$ .

$x = - 9 + \sqrt{78}$

Étape 2.4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$ .

$- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{18}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.4.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4.5

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 4.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 4.6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 4.6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.6.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 9 - \sqrt{78}) \cup (- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}) \cup (- 9 + \sqrt{78}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 18.83176$ dans l’expression.

$f' (- 18.83176) = - \frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}}$ par $\frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}$ .

$f' (- 18.83176) = - (\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}} \cdot \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}}$ par $\frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}}$ par $\frac{- 18.83176}{- 18.83176}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} \cdot \frac{- 18.83176}{- 18.83176}) - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}}$ par $\frac{- 18.83176}{- 18.83176}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez ${(- 18.83176)}^{2}$ par ${(- 18.83176)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.6

Réorganisez les facteurs de ${(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{- 18.83176 {(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 18.83176$ par ${(- 18.83176)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.7.1

Multipliez $- 18.83176$ par ${(- 18.83176)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.7.1.1

Élevez $- 18.83176$ à la puissance $1$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{(- 18.83176) {(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 18.83176) = \frac{- {(- 18.83176)}^{2} - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Élevez $- 18.83176$ à la puissance $2$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 1 \cdot 354.63518469 - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $354.63518469$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 354.63518469 - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $- 18$ par $- 18.83176$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 354.63518469 + 338.97168 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Additionnez $- 354.63518469$ et $338.97168$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 15.66350469 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.4.2

Soustrayez $3$ de $- 15.66350469$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 18.66350469}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Étape 6.2.4.3

Élevez $- 18.83176$ à la puissance $4$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 18.66350469}{125766.1142255}$

Étape 6.2.4.4

Divisez $- 18.66350469$ par $125766.1142255$ .

$f' (- 18.83176) = - 0.00014839$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 0.00014839$ .

$- 0.00014839$

Étape 6.3

Sur $x = - 18.83176$ la dérivée est $- 0.00014839$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ .

Diminue sur $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 17.83176, - 9 + \sqrt{78})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8.99999956$ dans l’expression.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ par $\frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ .

$f' (- 8.99999956) = - (\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}} \cdot \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ par $\frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}}$ par $\frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} \cdot \frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}) - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}}$ par $\frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez ${(- 8.99999956)}^{2}$ par ${(- 8.99999956)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.6

Réorganisez les facteurs de ${(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{- 8.99999956 {(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $- 8.99999956$ par ${(- 8.99999956)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.7.1

Multipliez $- 8.99999956$ par ${(- 8.99999956)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.7.1.1

Élevez $- 8.99999956$ à la puissance $1$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{(- 8.99999956) {(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 8.99999956) = \frac{- {(- 8.99999956)}^{2} - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $- 8.99999956$ à la puissance $2$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 1 \cdot 80.99999217 - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $80.99999217$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 80.99999217 - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 18$ par $- 8.99999956$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 80.99999217 + 161.99999217 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Additionnez $- 80.99999217$ et $161.99999217$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{81 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.4.2

Soustrayez $3$ de $81$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{78}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Étape 7.2.4.3

Élevez $- 8.99999956$ à la puissance $4$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{78}{6560.99873154}$

Étape 7.2.4.4

Divisez $78$ par $6560.99873154$ .

$f' (- 8.99999956) = 0.01188843$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $0.01188843$ .

$0.01188843$

Étape 7.3

Sur $x = - 8.99999956$ la dérivée est $0.01188843$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 17.83176, - 9 + \sqrt{78})$ .

Augmente sur $(- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.16823913, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.08411956$ dans l’expression.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ par $\frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ .

$f' (- 0.08411956) = - (\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}} \cdot \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ par $\frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}}$ par $\frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} \cdot \frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}) - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}}$ par $\frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.5

Multipliez ${(- 0.08411956)}^{2}$ par ${(- 0.08411956)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.6

Réorganisez les facteurs de ${(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{- 0.08411956 {(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.7

Multipliez $- 0.08411956$ par ${(- 0.08411956)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.7.1

Multipliez $- 0.08411956$ par ${(- 0.08411956)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.7.1.1

Élevez $- 0.08411956$ à la puissance $1$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{(- 0.08411956) {(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 0.08411956) = \frac{- {(- 0.08411956)}^{2} - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Élevez $- 0.08411956$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1 \cdot 0.0070761 - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.0070761$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 0.0070761 - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 18$ par $- 0.08411956$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 0.0070761 + 1.51415217 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Additionnez $- 0.0070761$ et $1.51415217$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{1.50707606 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.4.2

Soustrayez $3$ de $1.50707606$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1.49292393}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Étape 8.2.4.3

Élevez $- 0.08411956$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1.49292393}{0.00005007}$

Étape 8.2.4.4

Divisez $- 1.49292393$ par $0.00005007$ .

$f' (- 0.08411956) = - 29816.01559941$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- 29816.01559941$ .

$- 29816.01559941$

Étape 8.3

Sur $x = - 0.08411956$ la dérivée est $- 29816.01559941$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.16823913, 0)$ .

Diminue sur $(- 9 + \sqrt{78}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 1 - \frac{18}{1} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.5

Divisez $18$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 18 - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 9.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 1 - 18 - \frac{3}{1}$

Étape 9.2.1.8

Divisez $3$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - 1 \cdot 3$

Étape 9.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - 3$

Étape 9.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Soustrayez $18$ de $- 1$ .

$f' (1) = - 19 - 3$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 19$ .

$f' (1) = - 22$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 22$ .

$- 22$

Étape 9.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 22$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78})$

Diminue sur : $(- \infty, - 9 - \sqrt{78}), (- 9 + \sqrt{78}, 0), (0, \infty)$

Étape 11