Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $0.7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $0.7$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = {1.7}^{x}$ et $g (x) = - 1.8 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Étape 1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $1.7$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $- 1.8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.8 x$ par rapport à $x$ est $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1.8$ par $1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 1.8$ par $\ln (1.7)$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $- 0.95513085$ à gauche de ${1.7}^{- 1.8 x}$ .

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ .

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3.36689747)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.3668976$ dans l’expression.

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4.3668976$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2.1$ par $19.06979464$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1.8$ par $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $1.7$ à la puissance $7.86041568$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 0.95513085$ par $64.77751969$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

Étape 5.2.2

Soustrayez $61.87100757$ de $40.04656876$ .

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 21.8244388$ .

$- 21.8244388$

Étape 5.3

Sur $x = - 4.3668976$ la dérivée est $- 21.8244388$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 3.36689747)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 3.36689747)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.27903855$ dans l’expression.

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2.27903855$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2.1$ par $5.19401671$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1.8$ par $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $1.7$ à la puissance $4.10226939$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 0.95513085$ par $8.81786724$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8.42221705$ de $10.90743509$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2.48521804$ .

$2.48521804$

Étape 6.3

Sur $x = - 2.27903855$ la dérivée est $2.48521804$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ .

Augmente sur $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.1911795, 0.52487955)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.33314995$ dans l’expression.

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.33314995$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2.1$ par $0.11098888$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1.8$ par $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $1.7$ à la puissance $0.59966991$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 0.95513085$ par $1.37465363$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1.31297409$ de $0.23307666$ .

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1.07989742$ .

$- 1.07989742$

Étape 7.3

Sur $x = - 0.33314995$ la dérivée est $- 1.07989742$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.1911795, 0.52487955)$ .

Diminue sur $(- 1.19117954, 0.52487955)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.52487955, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.5248796$ dans l’expression.

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.5248796$ à la puissance $2$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2.1$ par $2.32525779$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1.8$ par $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

Étape 8.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $1.7$ à la puissance $2.74478328$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

Étape 8.2.1.6

Divisez $1$ par $4.29074145$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

Étape 8.2.1.7

Multipliez $- 0.95513085$ par $0.23305995$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

Étape 8.2.2

Soustrayez $0.22260275$ de $4.88304136$ .

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $4.66043861$ .

$4.66043861$

Étape 8.3

Sur $x = 1.5248796$ la dérivée est $4.66043861$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0.52487955, \infty)$ .

Augmente sur $(0.52487955, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

Étape 10