Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(3 x - 7)}^{2}$ comme $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

Étape 1.1.2

Développez $(3 x - 7) (3 x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $21 x$ de $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

Étape 1.1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 42 x + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.7

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.8

Comme $- 42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 42 x$ par rapport à $x$ est $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.10

Multipliez $- 42$ par $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.1.11

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 x - 42 + 0$

Étape 1.1.12

Additionnez $18 x - 42$ et $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $18 x - 42 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$18 x - 42 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $42$ aux deux côtés de l’équation.

$18 x = 42$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $18 x = 42$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $18 x = 42$ par $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $42$ et $18$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$x = \frac{6 (7)}{18}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7}{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 18 x - 42$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{7}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{3}$ dans l’expression.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

Étape 5.2.2

Soustrayez $42$ de $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 5.3

Sur $x = \frac{4}{3}$ la dérivée est $- 18$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{7}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{7}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{10}{3}$ dans l’expression.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

Étape 6.2.2

Soustrayez $42$ de $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{10}{3}$ la dérivée est $18$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{7}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{7}{3}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{7}{3})$

Étape 8