Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ comme ${(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 4 x^{2} - 52 x + 179$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Étape 1.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 52 x + 179$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Étape 1.1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 52$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 52 x$ par rapport à $x$ est $- 52 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [179]))$

Étape 1.1.2.9

Comme $179$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $179$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + 0))$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 \cdot 1 + 0))$

Étape 1.1.2.11

Multipliez $- 52$ par $1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 + 0))$

Étape 1.1.2.12

Additionnez $8 x - 52$ et $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52))$

Étape 1.1.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$0 + 20 {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 20 \frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Étape 1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $20$ et $\frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$0 + \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Étape 1.1.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$(8 x - 52) \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $8 x - 52$ par $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{(8 x - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x - 52$ .

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Étape 1.1.3.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{(4 (2 x) - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 52$ .

$\frac{(4 (2 x) + 4 (- 13)) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x) + 4 (- 13)$ .

$\frac{4 (2 x - 13) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $20$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$80 (2 x - 13) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $80 (2 x - 13) = 0$ par $80$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $80 (2 x - 13) = 0$ par $80$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $80$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $2 x - 13$ par $1$ .

$2 x - 13 = \frac{0}{80}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $80$ .

$2 x - 13 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 13$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 13$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 13$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{13}{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{13}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (11 - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $13$ de $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 52$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 (- 26) (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 \cdot (- 26 (\frac{11}{2})) + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 26 \cdot 11 + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $- 26$ par $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 286 + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.7

Soustrayez $286$ de $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Étape 5.2.2.8

Additionnez $- 165$ et $179$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{14^{2}}$

Étape 5.2.2.9

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{196}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $80$ par $- 2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 160}{196}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 160$ et $196$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 160$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 (- 40)}{196}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 40}{49}$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{40}{49}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{40}{49}$ .

$- \frac{40}{49}$

Étape 5.3

Sur $x = \frac{11}{2}$ la dérivée est $- \frac{40}{49}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{13}{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{13}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{13}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{15}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (15 - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $13$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 52$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 (- 26) (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 \cdot (- 26 (\frac{15}{2})) + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 26 \cdot 15 + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $- 26$ par $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 390 + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.7

Soustrayez $390$ de $225$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Étape 6.2.2.8

Additionnez $- 165$ et $179$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{14^{2}}$

Étape 6.2.2.9

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{196}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $80$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{160}{196}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $160$ et $196$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $160$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 (40)}{196}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{40}{49}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{40}{49}$ .

$\frac{40}{49}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{15}{2}$ la dérivée est $\frac{40}{49}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{13}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{13}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{13}{2}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{13}{2})$

Étape 8