Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{- x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 1.1.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.5.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Étape 1.1.5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Étape 1.1.5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 1.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 1.1.6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 1.1.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Étape 1.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- \sin (x) - \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $- \sin (x) - \cos (x)$ égal à $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.6

Séparez les fractions.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.5.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Étape 2.5.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.5.2.10

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = 1$

Étape 2.5.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.11.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 2.5.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 2.5.2.13

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.14

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 2.5.2.15

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.15.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.5.2.15.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.5.2.17

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.17.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 2.5.2.17.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.17.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.17.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.17.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.5.2.17.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.17.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.5.2.17.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.17.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Étape 5.3

Sur $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ la dérivée est $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ la dérivée est $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Étape 8