Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Étape 1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 1.5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 1.5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1.5$ par $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 5.2.5

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Étape 5.2.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Étape 5.2.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Étape 5.2.8

Divisez $3$ par $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Étape 5.2.9

La réponse finale est $0.66939048$ .

$0.66939048$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $0.66939048$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1.5$ par $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 6.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Étape 6.2.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Étape 6.2.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Étape 6.2.9

Divisez $3$ par $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Étape 6.2.10

Multipliez $- 1$ par $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Étape 6.2.11

La réponse finale est $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 0.66939048$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, \infty)$

Étape 8