Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{1}{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{8}{3} x + \frac{1}{3}$

Étape 1.1.2

Associez $x$ et $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{x \cdot 8}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 1.1.3

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 (- 4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $\frac{- 4}{3}$ par $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{- 4}{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{- 4}{\frac{3}{3}}$

Étape 1.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 4}{\frac{3}{3}}$

Étape 1.2.3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.2.3.2.6

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{8}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{64}{9})}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $- 15$ par $3$ .

$e = - 5$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{3} {(x - 4)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(x - 4)}^{2} - 5$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x - 4)}^{2} - 5$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 4$

$k = - 5$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, - 5)$

Étape 4