Calcul infinitésimal Exemples

$x = e^{t} - 5$ , $y = e^{2 t}$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = e^{t} - 5$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $e^{t} - 5 = x$ .

$e^{t} - 5 = x$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{t} = x + 5$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{t}) = \ln (x + 5)$

Étape 5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.1

Développez $\ln (e^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$t \ln (e) = \ln (x + 5)$

Étape 5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$t \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Étape 5.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$t = \ln (x + 5)$

Étape 6

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = e^{2 (\ln (x + 5))}$

Étape 7

Simplifiez $e^{2 (\ln (x + 5))}$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $2 (\ln (x + 5))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y = e^{\ln ({(x + 5)}^{2})}$

Étape 7.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$y = {(x + 5)}^{2}$

Étape 7.3

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$y = (x + 5) (x + 5)$

Étape 7.4

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x + 5) + 5 (x + 5)$

Étape 7.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)$

Étape 7.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Étape 7.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Étape 7.5.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5$

Étape 7.5.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = x^{2} + 5 x + 5 x + 25$

Étape 7.5.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$y = x^{2} + 10 x + 25$