Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ .

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

Étape 5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$t = 2 \arcsin (x)$

Étape 7

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Étape 8

Supprimez les parenthèses.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Étape 9

Simplifiez $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

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Étape 9.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arcsin (x)$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = \cos (\arcsin (x))$

Étape 9.1.2

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 9.1.2.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Étape 9.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$