Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x) \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x) \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.2.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.6

Soustrayez $x \sin (x)$ de $- x \sin (x)$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.7

Pour écrire $- \ln (x) \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.8

Associez $- \ln (x) \cos (x)$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

Étape 2.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Étape 2.4.9

Réécrivez $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ comme $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Étape 2.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$