Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $9$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $9 \sin (10 \cos (θ))$ par rapport à $θ$ est $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $10 \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 1.3.2

Multipliez $10$ par $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.4

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 90$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.5.1

Comme $10$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $10 \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

Étape 2.5.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Étape 2.6

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

Étape 2.8

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Étape 2.12.2

Multipliez $10$ par $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

Étape 2.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$