Calcul infinitésimal Exemples

$s = 1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{3}{t + 3}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{t + 3}$ comme ${(t + 3)}^{- 1}$ .

$0 + 3 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t + 3$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + 3$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ comme ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 1.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Étape 1.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Étape 1.3.8

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Étape 1.3.8.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1))$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3)))$

Étape 1.3.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3))$

Étape 1.3.12

Élevez $t + 3$ à la puissance $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4}))$

Étape 1.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4})$

Étape 1.3.14

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 3})$

Étape 1.3.15

Multipliez $- 2$ par $- 18$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.4.3.3

Soustrayez $\frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.4.3.4

Associez $36$ et $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$f' (t) = - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ comme ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.8

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.12

Élevez $t + 3$ à la puissance $1$ .

$- 3 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.14

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ par rapport à $t$ est $36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ comme ${({(t + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = {(t + 3)}^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Étape 2.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Étape 2.3.8

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} \cdot 1))$

Étape 2.3.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2}))$

Étape 2.3.11

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 6} {(t + 3)}^{2})$

Étape 2.3.12

Multipliez ${(t + 3)}^{- 6}$ par ${(t + 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.12.1

Déplacez ${(t + 3)}^{2}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 ({(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{- 6}))$

Étape 2.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{2 - 6})$

Étape 2.3.12.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 4})$

Étape 2.3.13

Multipliez $- 3$ par $36$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $6$ et $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.4.3.2

Associez $- 108$ et $\frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} + \frac{- 108}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (t) = \frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - \frac{108}{{(t + 3)}^{4}}$