Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + 7 x - 1 (5 x + 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 7 x - 1 (5 x + 2)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$3 x^{2} + 7 + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $- 1 (5 x + 2)$ comme $- (5 x + 2)$ .

$3 x^{2} + 7 + \frac{d}{d x} [- (5 x + 2)]$

Étape 1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (5 x + 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [5 x + 2]$ .

$3 x^{2} + 7 - \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 x^{2} + 7 - (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \cdot 1 + 0)$

Étape 1.3.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 + 0)$

Étape 1.3.8

Additionnez $5$ et $0$ .

$3 x^{2} + 7 - 1 \cdot 5$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$3 x^{2} + 7 - 5$

Étape 1.4

Soustrayez $5$ de $7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$