Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos^{2} (θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (θ)$ .

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.4

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.5

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Étape 2.10

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$