Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{36} \cot (6 x + 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $\frac{1}{36}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{36} \cdot \cot (6 x + 5)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$ .

$\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 6 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{36}$ et $\csc^{2} (6 x + 5)$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + 0)$

Étape 1.3.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \cdot 6$

Étape 1.3.7.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Étape 1.3.7.3

Associez $- 6$ et $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$ .

$\frac{- 6 \csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Étape 1.3.7.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{36}$

Étape 1.3.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 (6)}$

Étape 1.3.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 \cdot 6}$

Étape 1.3.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Étape 1.3.7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (6 x + 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{6} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (2 \csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Étape 2.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Étape 2.3.3

Associez $\csc (6 x + 5)$ et $\frac{- 2}{6}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \cdot - 2}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $\csc (6 x + 5)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (6 x + 5)}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \csc (6 x + 5)$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 (3)} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 6 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ par $1$ .

$\frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.5.3

Associez $\csc (6 x + 5)$ et $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.6

Élevez $\csc (6 x + 5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.7

Élevez $\csc (6 x + 5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc^{1} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\csc (6 x + 5)}^{1 + 1}}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Étape 2.9.2

Associez $\cot (6 x + 5)$ et $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.11

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.13

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + 0)$

Étape 2.15

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \cdot 6$

Étape 2.15.2

Associez $\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ et $6$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5) \cdot 6}{3}$

Étape 2.15.3

Déplacez $6$ à gauche de $\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Étape 2.15.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Étape 2.15.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 (1)}$

Étape 2.15.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 \cdot 1}$

Étape 2.15.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{1}$

Étape 2.15.4.2.4

Divisez $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ par $1$ .

$2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$

Étape 2.15.5

Réorganisez les facteurs de $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (6 x + 5) \cot (6 x + 5)$