Calcul infinitésimal Exemples

$s = \frac{t^{3} + 7 t^{2} - 8}{t^{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{3} + 7 t^{2} - 8$ et $g (t) = t^{3}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} + 7 t^{2} - 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.4

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t + 0) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.8

Additionnez $3 t^{2} + 14 t$ et $0$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.10.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Étape 1.2.10.2

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}$ .

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Étape 1.2.10.2.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{3} (3 t^{2} + 14 t)$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Étape 1.2.10.2.2

Factorisez $t^{2}$ à partir de $- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) + t^{2} (- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{6}}$

Étape 1.2.10.2.3

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) + t^{2} (- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{6}}$

Étape 1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{6}$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8)}{t^{4}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8)}{t^{4}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 t \cdot t^{2} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.1.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2} t) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.2.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.4.3.1.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (t^{2} t^{1}) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 t^{2 + 1} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 t^{3} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 t^{3} + 14 t \cdot t - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.1.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 (t \cdot t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.5

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.2

Associez les termes opposés dans $3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} + 24$ .

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $3 t^{3}$ de $3 t^{3}$ .

$\frac{14 t^{2} + 0 - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $14 t^{2}$ et $0$ .

$\frac{14 t^{2} - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Étape 1.4.3.3

Soustrayez $21 t^{2}$ de $14 t^{2}$ .

$\frac{- 7 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Étape 1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{- (7 t^{2}) + 24}{t^{4}}$

Étape 1.4.5

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$\frac{- (7 t^{2}) - 1 (- 24)}{t^{4}}$

Étape 1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2}) - 1 (- 24)$ .

$\frac{- (7 t^{2} - 24)}{t^{4}}$

Étape 1.4.7

Réécrivez $- (7 t^{2} - 24)$ comme $- 1 (7 t^{2} - 24)$ .

$\frac{- 1 (7 t^{2} - 24)}{t^{4}}$

Étape 1.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 1$ et $g (t) = \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}] + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.2

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{{(t^{4})}^{2}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{4 \cdot 2}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 t^{2} - 24$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]$ .

$- \frac{t^{4} (\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{t^{4} (7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{t^{4} (7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \frac{t^{4} (14 t + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.6

Comme $- 24$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- \frac{t^{4} (14 t + 0) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.7

Additionnez $14 t$ et $0$ .

$- \frac{t^{4} (14 t) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.4

Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $t$ .

$- \frac{t \cdot t^{4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.4.2

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{t^{1 + 4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{t^{5} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.5

Déplacez $14$ à gauche de $t^{5}$ .

$- \frac{14 \cdot t^{5} - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{14 t^{5} - (7 t^{2} - 24) (4 t^{3})}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \cdot 0$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$ par $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + 0$

Étape 2.9.2

Additionnez $- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}}$ et $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{14 t^{5} + (- 4 (7 t^{2}) - 4 \cdot - 24) t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2}) t^{3} - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.1.1

Déplacez $t^{3}$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 (t^{3} t^{2})) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{3 + 2}) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{5}) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3.1.2

Multipliez $7$ par $- 4$ .

$- \frac{14 t^{5} - 28 t^{5} - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 24$ .

$- \frac{14 t^{5} - 28 t^{5} + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.3.2

Soustrayez $28 t^{5}$ de $14 t^{5}$ .

$- \frac{- 14 t^{5} + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.4

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $- 14 t^{5} + 96 t^{3}$ .

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Étape 2.10.4.1

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $- 14 t^{5}$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Étape 2.10.4.2

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $96 t^{3}$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 2 t^{3} (48)}{t^{8}}$

Étape 2.10.4.3

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 2 t^{3} (48)$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2} + 48)}{t^{8}}$

Étape 2.10.5

Annulez le facteur commun à $t^{3}$ et $t^{8}$ .

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Étape 2.10.5.1

Factorisez $t^{3}$ à partir de $2 t^{3} (- 7 t^{2} + 48)$ .

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{8}}$

Étape 2.10.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.5.2.1

Factorisez $t^{3}$ à partir de $t^{8}$ .

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{3} t^{5}}$

Étape 2.10.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{3} t^{5}}$

Étape 2.10.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (- 7 t^{2} + 48)}{t^{5}}$

Étape 2.10.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2}) + 48)}{t^{5}}$

Étape 2.10.7

Réécrivez $48$ comme $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2}) - 1 (- 48))}{t^{5}}$

Étape 2.10.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2}) - 1 (- 48)$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2} - 48))}{t^{5}}$

Étape 2.10.9

Réécrivez $- (7 t^{2} - 48)$ comme $- 1 (7 t^{2} - 48)$ .

$- \frac{2 (- 1 (7 t^{2} - 48))}{t^{5}}$

Étape 2.10.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$

Étape 2.10.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$

Étape 2.10.12

Multipliez $\frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$ par $1$ .

$f'' (t) = \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$