Calcul infinitésimal Exemples

$y = \csc (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\csc (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (2 x)$ et $g (x) = \csc (2 x)$ .

$- 2 (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.4

Élevez $\cot (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.5

Élevez $\cot (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (- \csc (2 x) {\cot (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \cdot 1 + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.9

Élevez $\csc (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - (\csc^{1} (2 x) \csc^{2} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - {\csc (2 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \cdot 1)$

Étape 2.15

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x))$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Étape 2.16.2

Associez des termes.

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Étape 2.16.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 (\csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Étape 2.16.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$

Étape 2.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 \cot^{2} (2 x) \csc (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$