Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ comme ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.7.3

Placez ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x t + t^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.11

Comme $- 2 t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x t$ par rapport à $x$ est $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.13

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 1.14

Comme $t^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + 0)$

Étape 1.15

Simplifiez les termes.

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Étape 1.15.1

Additionnez $- 2 t$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Étape 1.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Étape 1.15.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- t \frac{d}{d x} [{({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$- t (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7.2

Associez ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- t (- \frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.3.1

Placez ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t (- \frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7.3.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Étape 2.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x t + t^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.11

Comme $- 2 t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x t$ par rapport à $x$ est $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.13

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Étape 2.14

Comme $t^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + 0)$

Étape 2.15

Associez les fractions.

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Étape 2.15.1

Additionnez $- 2 t$ et $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t)$

Étape 2.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} t$

Étape 2.15.3

Associez $\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.16

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.17

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.20

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.21

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.21.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.21.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$