Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(8 + \frac{2}{x})}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 8 + \frac{2}{x}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + \frac{2}{x}$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + \frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Étape 1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 8$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} {(8 + \frac{2}{x})}^{3}$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{- 8}{x^{2}}$ et ${(8 + \frac{2}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{8 {(\frac{8 x}{x} + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 {(\frac{8 x + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $8 x + 2$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2 (1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x + 1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 (4 x + 1)}{x}$ .

$- \frac{8 \frac{{(2 (4 x + 1))}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.5

Appliquez la règle de produit à $2 (4 x + 1)$ .

$- \frac{8 \frac{2^{3} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8 \frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Associez $8$ et $\frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{8 (8 {(4 x + 1)}^{3})}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{\frac{8^{2} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.3.8

Associez.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Étape 1.3.9

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.9.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Étape 1.3.9.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Étape 1.3.10

Multipliez $64 {(4 x + 1)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(4 x + 1)}^{3}$ et $g (x) = x^{5}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.5.8

Associez les fractions.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.5.8.2

Associez $- 64$ et $\frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.5.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2})) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{64 (12 x^{5} {(4 x + 1)}^{2}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.2

Réécrivez ${(4 x + 1)}^{2}$ comme $(4 x + 1) (4 x + 1)$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} ((4 x + 1) (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.3

Développez $(4 x + 1) (4 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.5

Multipliez $4 x$ par $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 8 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2}) + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.2.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.6.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.7.1

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 (x^{2} x^{5}) + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{2 + 5} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.1.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.3

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.7.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x \cdot x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.3.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 2.6.2.7.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x^{1} x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{1 + 5} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.4

Multipliez $12$ par $8$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 96 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{64 (192 x^{7}) + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.9

Simplifiez

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Étape 2.6.2.9.1

Multipliez $192$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.9.2

Multipliez $96$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.9.3

Multipliez $12$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.10

Utilisez le théorème du binôme.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.11.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.3

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.6

Multipliez $48$ par $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.9

Multipliez $12$ par $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.11.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.12

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 5 (64 x^{3}) - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.13

Simplifiez

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Étape 2.6.2.13.1

Multipliez $64$ par $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.13.2

Multipliez $48$ par $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.13.3

Multipliez $12$ par $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.13.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5) x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.14

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{3} x^{4} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15

Simplifiez

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Étape 2.6.2.15.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.15.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 (x^{4} x^{3}) - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{4 + 3} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.1.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.15.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 (x^{4} x^{2}) - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{4 + 2} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.3

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.15.3.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.3.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 2.6.2.15.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x^{1}) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{4 + 1} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.15.3.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{5} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.16

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7}) + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.17

Simplifiez

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Étape 2.6.2.17.1

Multipliez $- 320$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.17.2

Multipliez $- 240$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.17.3

Multipliez $- 60$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.17.4

Multipliez $- 5$ par $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.18

Soustrayez $20480 x^{7}$ de $12288 x^{7}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.19

Soustrayez $15360 x^{6}$ de $6144 x^{6}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} + 768 x^{5} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.20

Soustrayez $3840 x^{5}$ de $768 x^{5}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21

Réécrivez $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 2.6.2.21.1

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ .

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Étape 2.6.2.21.1.1

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $- 8192 x^{7}$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.2

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $- 9216 x^{6}$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.3

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $- 3072 x^{5}$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.4

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $- 320 x^{4}$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.5

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2})$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.6

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x)$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.1.7

Factorisez $64 x^{4}$ à partir de $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.2

Factorisez $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.6.2.21.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Étape 2.6.2.21.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0078125, \pm 0.5, \pm 0.015625, \pm 0.25, \pm 0.03125, \pm 0.125, \pm 0.0625, \pm 5, \pm 0.0390625, \pm 2.5, \pm 0.078125, \pm 1.25, \pm 0.15625, \pm 0.625, \pm 0.3125$

Étape 2.6.2.21.2.3

Remplacez $- 0.25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.25$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.6.2.21.2.3.1

Remplacez $- 0.25$ dans le polynôme.

$- 128 {(- 0.25)}^{3} - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.2

Élevez $- 0.25$ à la puissance $3$ .

$- 128 \cdot - 0.015625 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.3

Multipliez $- 128$ par $- 0.015625$ .

$2 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.4

Élevez $- 0.25$ à la puissance $2$ .

$2 - 144 \cdot 0.0625 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.5

Multipliez $- 144$ par $0.0625$ .

$2 - 9 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.6

Soustrayez $9$ de $2$ .

$- 7 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.7

Multipliez $- 48$ par $- 0.25$ .

$- 7 + 12 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.8

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$5 - 5$

Étape 2.6.2.21.2.3.9

Soustrayez $5$ de $5$ .

$0$

Étape 2.6.2.21.2.4

Comme $- 0.25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5}{4 x + 1}$

Étape 2.6.2.21.2.5

Divisez $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ par $4 x + 1$ .

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Étape 2.6.2.21.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$1$

$128 x^{3}$

$144 x^{2}$

$48 x$

$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 128 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				-	$32 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			-	$128 x^{3}$	-	$32 x^{2}$

Étape 2.6.2.21.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 128 x^{3} - 32 x^{2}$

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$

Étape 2.6.2.21.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$

Étape 2.6.2.21.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 2.6.2.21.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 112 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 2.6.2.21.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$112 x^{2}$	-	$28 x$

Étape 2.6.2.21.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 112 x^{2} - 28 x$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$

Étape 2.6.2.21.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$

Étape 2.6.2.21.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							-	$20 x$	-	$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x - 5$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$

Étape 2.6.2.21.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$
										$0$

Étape 2.6.2.21.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 32 x^{2} - 28 x - 5$

Étape 2.6.2.21.2.6

Écrivez $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ comme un ensemble de facteurs.

$- \frac{64 x^{4} ((4 x + 1) (- 32 x^{2} - 28 x - 5))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.3

Factorisez par regroupement.

$- \frac{64 x^{4} (4 x + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4

Associez les exposants.

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Étape 2.6.2.21.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) - 1 (- 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 4 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.4

Réécrivez $- (- 4 x - 1)$ comme $- 1 (- 4 x - 1)$ .

$- \frac{64 x^{4} (- 1 (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.5

Élevez $- 4 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} (- 4 x - 1)) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.6

Élevez $- 4 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} {(- 4 x - 1)}^{1}) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{1 + 1} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.21.4.9

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- \frac{- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Étape 2.6.3

Associez des termes.

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Étape 2.6.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{10}$ .

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Étape 2.6.3.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)$ .

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{10}}$

Étape 2.6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.1.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.6.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Étape 2.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Étape 2.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Étape 2.6.3.4

Multipliez $\frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$