Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.5.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + \frac{d}{d x} [11 y]$

Étape 1.6

Comme $11 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + 0$

Étape 1.7

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$4 x + 3 y + 7 + 0$

Étape 1.7.2

Additionnez $4 x + 3 y + 7$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3 y + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4$