Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.5

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.6

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Étape 2.12

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$