Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Factorisez $x^{- 2}$ à partir de $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{- 2}$ à partir de $3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{- 2}$ à partir de $- 7 x^{- 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

Étape 1.2.3

Factorisez $x^{- 2}$ à partir de $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

Étape 1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

Étape 1.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{7} - 7$ et $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 1.6

Différenciez.

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Étape 1.6.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 1.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{7} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.5

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.6.7

Additionnez $21 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.7

Multipliez $x^{4}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.7.3

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.8

Déplacez $21$ à gauche de $x^{10}$ .

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 1.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.10.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.10.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

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Étape 1.10.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $21 x^{10}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.10.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Étape 1.10.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Étape 1.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 1.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 1.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Étape 1.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Étape 1.12.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Étape 1.12.2.2

Soustrayez $12 x^{7}$ de $21 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{7} + 28$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{7}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.6

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $63 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{5}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.3.3

Additionnez $6$ et $5$ .

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4

Déplacez $63$ à gauche de $x^{11}$ .

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $63 x^{11}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Étape 2.7

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

Étape 2.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Étape 2.8.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $28$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $45 x^{7}$ de $63 x^{7}$ .

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Étape 2.8.3

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{7} - 140$ .

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Étape 2.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{7}$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

Étape 2.8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 140$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

Étape 2.8.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$