Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 2.3.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Étape 2.3.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Étape 2.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Étape 2.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.2.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.2.6

Associez.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.2.7

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.7.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.2.7.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.2.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Étape 2.4.2.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Étape 2.4.3.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.3.4

Multipliez par $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.3.5

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Étape 2.4.3.7

Divisez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$