Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x - 6 \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 6 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 - 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 - 6 \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 6 \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$0 - 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 6 (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$0 - 6 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 - 6 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.2.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$0 - 6 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$0 - 6 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 6 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 - 6 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$0 - 12 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $12 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 12 \sec^{2} (x) \tan (x)$