Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\ln (7 x)}{x^{6}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (7 x)$ et $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{7 x}$ et $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.4.1

Associez $7$ et $\frac{x^{5}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.4.2.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.6

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Étape 1.4.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Étape 1.4.8.2

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

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Étape 1.4.8.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Étape 1.4.8.2.2

Factorisez $x^{5}$ à partir de $- 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Étape 1.4.8.2.3

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Étape 1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 6 \ln (7 x)}{x^{7}}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Simplifiez $- 6 \ln (7 x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{6})}{x^{7}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Étape 1.6.3

Élevez $7$ à la puissance $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (117649 x^{6})}{x^{7}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (117649 x^{6})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (117649 x^{6})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 117649 x^{6}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{117649 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x^{6}$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $117649 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.3

Comme $117649$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $117649 x^{6}$ par rapport à $x$ est $117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{117649} (117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $117649$ par $- 1$ .

$\frac{- 117649 \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.2

Associez $- 117649$ et $\frac{x}{117649}$ .

$\frac{\frac{- 117649 x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.3

Annulez le facteur commun à $- 117649$ et $117649$ .

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Étape 2.4.4.3.1

Factorisez $117649$ à partir de $- 117649 x$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.4.3.2.1

Factorisez $117649$ à partir de $117649$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.4.3.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.5

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.5.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{6}$ à partir de $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{6}$ à partir de $- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.2.1.1

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.1.2

Multipliez $- 7 (- \ln (117649 x^{6}))$ .

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Étape 2.9.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (117649 x^{6})}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.1.2.2

Simplifiez $7 \ln (117649 x^{6})$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(117649 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $117649 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{7}$ .

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Étape 2.9.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.1.4.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $7$ de $- 6$ .

$\frac{- 13 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Étape 2.9.3

Réécrivez $- 13$ comme $- 1 (13)$ .

$\frac{- 1 (13) + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Étape 2.9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (117649^{7} x^{42})$ .

$\frac{- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Étape 2.9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))$ .

$\frac{- 1 (13 - \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Étape 2.9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{13 - \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$