Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \cos^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$x (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) \cdot 1$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x)$

Étape 1.4.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.11

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x))) + \sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x \cos^{2} (x)) - 2 (\sin (x) (x (- \sin (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- {\sin (x)}^{1 + 1})) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- \sin^{2} (x))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) + 2 (x (\sin^{2} (x))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.6

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3.7

Soustrayez $2 \cos (x) \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$