Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [2 x {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x (- \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Associez ${(3 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.3

Placez ${(3 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 (- \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 (- 3 \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.3

Associez $- 3$ et $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 (\frac{- 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 1.16

Multipliez ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 (- \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.17

Pour écrire ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 (- \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 1.18

Associez ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 (- \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.20

Multipliez ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ par ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.20.1

Déplacez ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.20.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$2 \frac{- 3 x + {(3 x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.21

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.21.1

Simplifiez ${(3 x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$2 \frac{- 3 x + (3 x - 1) \cdot 2}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.21.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 1$ .

$2 \frac{- 3 x + 2 \cdot (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.22

Associez $2$ et $\frac{- 3 x + 2 (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 (- 3 x + 2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.23

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 x + 2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.24

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x + 2 (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.25

Simplifiez

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Étape 1.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.25.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.25.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.25.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 3 x + 6 x + 2 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.25.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.25.2.2

Additionnez $- 3 x$ et $6 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 2}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 2$ et $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2.7.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 + 0))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) (\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.14.2

Associez $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $3$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.14.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- (3 x) - - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x - - 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x + 2) \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 x \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.3

Multipliez $- 3 x \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 2.15.2.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 3 (9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.3.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.3.3

Associez $x$ et $\frac{- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.5.1.1

Réécrivez.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x \cdot - 27 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.5.2

Déplacez $- 27$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 \cdot x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.6

Pour écrire $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.7

Associez $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.9

Factorisez $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 2.15.2.9.1

Déplacez ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.9.2

Factorisez $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 27 x {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.9.3

Factorisez $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.9.4

Factorisez $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2)$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.10

Pour écrire $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.11

Associez $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13

Réécrivez $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 2.15.2.13.1

Factorisez $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)$ .

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Étape 2.15.2.13.1.1

Déplacez ${(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.1.2

Factorisez $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 \cdot 2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.1.3

Factorisez $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2)$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.1.4

Factorisez $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- 3 x + 2))$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{1} + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.3

Simplifiez

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 x - 1) + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + 3 (- 3 x + 2))}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.8

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 - 9 x + 3 \cdot 2)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 - 9 x + 6)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.10

Soustrayez $9 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 2 + 6)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2.13.11

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.3

Associez des termes.

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Étape 2.15.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{{(3 x - 1)}^{3}}$ comme un produit.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2} \cdot \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.3.2

Multipliez $\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}$ par $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2.15.3.3

Placez ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{3} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3.4

Multipliez ${(3 x - 1)}^{3}$ par ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.4.1

Déplacez ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 ({(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} {(3 x - 1)}^{3})}$

Étape 2.15.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Étape 2.15.3.4.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.3.4.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.15.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.15.3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.3.4.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Étape 2.15.3.4.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$\frac{3 (- 3 x + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 2.15.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- (3 x) + 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 2.15.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{3 (- (3 x) - 1 (- 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 2.15.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{3 (- (3 x - 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 2.15.7

Réécrivez $- (3 x - 4)$ comme $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x - 4))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 2.15.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3 (3 x - 4)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$