Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 1.3

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 2.4

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 2.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.8

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Étape 2.12

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Étape 2.13

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Étape 2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 2.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 2.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$