Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = 11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = 6 x - 3 y + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$11 (8 u^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (8 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $8$ par $11$ .

$88 ({(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 3 y + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.6

Comme $- 3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.7

Additionnez $6$ et $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0)$

Étape 1.3.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \cdot 6$

Étape 1.3.9.2

Multipliez $6$ par $88$ .

$f' (x) = 528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $528$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$ par rapport à $x$ est $528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$ .

$528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 6 x - 3 y + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$528 (7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (7 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $7$ par $528$ .

$3696 ({(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 3 y + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.6

Comme $- 3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.7

Additionnez $6$ et $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0)$

Étape 2.3.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.9.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \cdot 6$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $6$ par $3696$ .

$f'' (x) = 22176 {(6 x - 3 y + 4)}^{6}$