Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (14 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $14 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [14 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [14 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $14 x$ .

$\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$\sec (14 x) \tan (14 x) \cdot 14$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $14$ à gauche de $\sec (14 x) \tan (14 x)$ .

$f' (x) = 14 \sec (14 x) \tan (14 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 \sec (14 x) \tan (14 x)$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [\sec (14 x) \tan (14 x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\sec (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (14 x)$ et $g (x) = \tan (14 x)$ .

$14 (\sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan (14 x)] + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $14 x$ .

$14 (\sec (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$14 (\sec (14 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $14 x$ .

$14 (\sec (14 x) (\sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sec (14 x)$ à la puissance $1$ .

$14 (\sec^{2} (14 x) \sec^{1} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x] + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 ({\sec (14 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [14 x] + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$14 (\sec^{3} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x] + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.6.2

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (\sec^{3} (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (\sec^{3} (14 x) (14 \cdot 1) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$14 (\sec^{3} (14 x) \cdot 14 + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.6.4.2

Déplacez $14$ à gauche de $\sec^{3} (14 x)$ .

$14 (14 \cdot \sec^{3} (14 x) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $14 x$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan (14 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.7.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan (14 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $14 x$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.8

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{1} (14 x) \tan (14 x) (\sec (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{1} (14 x) \tan^{1} (14 x) (\sec (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + {\tan (14 x)}^{1 + 1} (\sec (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 2.12

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{2} (14 x) \sec (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{2} (14 x) \sec (14 x) (14 \cdot 1))$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + \tan^{2} (14 x) \sec (14 x) \cdot 14)$

Étape 2.14.2

Déplacez $14$ à gauche de $\tan^{2} (14 x) \sec (14 x)$ .

$14 (14 \sec^{3} (14 x) + 14 \cdot (\tan^{2} (14 x) \sec (14 x)))$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 (14 \sec^{3} (14 x)) + 14 (14 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x))$

Étape 2.15.2

Associez des termes.

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Étape 2.15.2.1

Multipliez $14$ par $14$ .

$196 \sec^{3} (14 x) + 14 (14 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x))$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $14$ par $14$ .

$196 \sec^{3} (14 x) + 196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x)$

Étape 2.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x) + 196 \sec^{3} (14 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x) + 196 \sec^{3} (14 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $196$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $196 \tan^{2} (14 x) \sec (14 x)$ par rapport à $x$ est $196 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x) \sec (14 x)]$ .

$196 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{2} (14 x)$ et $g (x) = \sec (14 x)$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)] + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $14 x$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $14 x$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.4

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (14 x)$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (14 x)$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (14 x)$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 3.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $14 x$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.7.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $14 x$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.8

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.10

Multipliez $14$ par $1$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \cdot 14) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.11

Déplacez $14$ à gauche de $\sec (14 x) \tan (14 x)$ .

$196 (\tan^{2} (14 x) (14 \cdot (\sec (14 x) \tan (14 x))) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.12

Multipliez $\tan^{2} (14 x)$ par $\tan (14 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.12.1

Déplacez $\tan (14 x)$ .

$196 (\tan (14 x) \tan^{2} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $\tan (14 x)$ par $\tan^{2} (14 x)$ .

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Étape 3.2.12.2.1

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$196 (\tan^{1} (14 x) \tan^{2} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$196 ({\tan (14 x)}^{1 + 2} (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$196 (\tan^{3} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.13

Déplacez $14$ à gauche de $\tan^{3} (14 x)$ .

$196 (14 \cdot \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.14

Multipliez $14$ par $1$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (\sec^{2} (14 x) \cdot 14))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.15

Déplacez $14$ à gauche de $\sec^{2} (14 x)$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (2 \tan (14 x) (14 \cdot \sec^{2} (14 x)))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.16

Multipliez $14$ par $2$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (28 \tan (14 x) \sec^{2} (14 x))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.17

Élevez $\sec (14 x)$ à la puissance $1$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) (\sec^{1} (14 x) \sec^{2} (14 x))) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) {\sec (14 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.2.19

Additionnez $1$ et $2$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + \frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [196 \sec^{3} (14 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $196$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $196 \sec^{3} (14 x)$ par rapport à $x$ est $196 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)]$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (14 x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\sec (14 x)$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\sec (14 x)$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $14 x$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sec (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $14 x$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 3.3.4

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)))$

Étape 3.3.6

Multipliez $14$ par $1$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \cdot 14))$

Étape 3.3.7

Déplacez $14$ à gauche de $\sec (14 x) \tan (14 x)$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (3 \sec^{2} (14 x) (14 \cdot (\sec (14 x) \tan (14 x))))$

Étape 3.3.8

Multipliez $14$ par $3$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (42 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x)))$

Étape 3.3.9

Élevez $\sec (14 x)$ à la puissance $1$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (42 (\sec^{1} (14 x) \sec^{2} (14 x)) \tan (14 x))$

Étape 3.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (42 {\sec (14 x)}^{1 + 2} \tan (14 x))$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 196 (42 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x))$

Étape 3.3.12

Multipliez $42$ par $196$ .

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$196 (14 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x)) + 196 (28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $14$ par $196$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) \sec (14 x)) + 196 (28 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $28$ par $196$ .

$2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 5488 (\tan (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 3.4.2.3

Réorganisez les facteurs de $5488 \tan (14 x) \sec^{3} (14 x)$ .

$2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 5488 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x) + 8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $5488 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$ et $8232 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$ .

$f''' (x) = 2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x) + 13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2744$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2744 \tan^{3} (14 x) \sec (14 x)$ par rapport à $x$ est $2744 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x) \sec (14 x)]$ .

$2744 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x) \sec (14 x)] + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{3} (14 x)$ et $g (x) = \sec (14 x)$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)] + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $14 x$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $14 x$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.4

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (14 x)]) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \tan (14 x)$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (14 x)$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (14 x)$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [\tan (14 x)])) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 4.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $14 x$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.7.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $14 x$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.8

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.10

Multipliez $14$ par $1$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \cdot 14) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.11

Déplacez $14$ à gauche de $\sec (14 x) \tan (14 x)$ .

$2744 (\tan^{3} (14 x) (14 \cdot (\sec (14 x) \tan (14 x))) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.12

Multipliez $\tan^{3} (14 x)$ par $\tan (14 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.12.1

Déplacez $\tan (14 x)$ .

$2744 (\tan (14 x) \tan^{3} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.12.2

Multipliez $\tan (14 x)$ par $\tan^{3} (14 x)$ .

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Étape 4.2.12.2.1

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$2744 (\tan^{1} (14 x) \tan^{3} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2744 ({\tan (14 x)}^{1 + 3} (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.12.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2744 (\tan^{4} (14 x) (14 \sec (14 x)) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.13

Déplacez $14$ à gauche de $\tan^{4} (14 x)$ .

$2744 (14 \cdot \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.14

Multipliez $14$ par $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (\sec^{2} (14 x) \cdot 14))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.15

Déplacez $14$ à gauche de $\sec^{2} (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (3 \tan^{2} (14 x) (14 \cdot \sec^{2} (14 x)))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.16

Multipliez $14$ par $3$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + \sec (14 x) (42 \tan^{2} (14 x) \sec^{2} (14 x))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.17

Élevez $\sec (14 x)$ à la puissance $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) (\sec^{1} (14 x) \sec^{2} (14 x))) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) {\sec (14 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.2.19

Additionnez $1$ et $2$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + \frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $13720$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13720 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)$ par rapport à $x$ est $13720 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x) \tan (14 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{3} (14 x)$ et $g (x) = \tan (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) \frac{d}{d x} [\tan (14 x)] + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $14 x$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\tan (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\sec^{2} (u_{4})$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $14 x$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.4

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (14 x)])$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (14 x)$ .

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Étape 4.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\sec (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (14 x)]))$

Étape 4.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (14 x)]))$

Étape 4.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\sec (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) \frac{d}{d x} [\sec (14 x)]))$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 4.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $14 x$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [14 x])))$

Étape 4.3.7.2

La dérivée de $\sec (u_{6})$ par rapport à $u_{6}$ est $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [14 x])))$

Étape 4.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $14 x$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \frac{d}{d x} [14 x])))$

Étape 4.3.8

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) (14 \cdot 1)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))))$

Étape 4.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

Étape 4.3.10

Multipliez $14$ par $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (\sec^{2} (14 x) \cdot 14) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.11

Déplacez $14$ à gauche de $\sec^{2} (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{3} (14 x) (14 \cdot \sec^{2} (14 x)) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.12

Multipliez $\sec^{3} (14 x)$ par $\sec^{2} (14 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.12.1

Déplacez $\sec^{2} (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x) \cdot 14 + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 ({\sec (14 x)}^{2 + 3} \cdot 14 + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.12.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (\sec^{5} (14 x) \cdot 14 + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.13

Déplacez $14$ à gauche de $\sec^{5} (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \cdot \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) (14 \cdot 1))))$

Étape 4.3.14

Multipliez $14$ par $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x) \cdot 14)))$

Étape 4.3.15

Déplacez $14$ à gauche de $\sec (14 x) \tan (14 x)$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (3 \sec^{2} (14 x) (14 \cdot (\sec (14 x) \tan (14 x)))))$

Étape 4.3.16

Multipliez $14$ par $3$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (42 \sec^{2} (14 x) (\sec (14 x) \tan (14 x))))$

Étape 4.3.17

Élevez $\sec (14 x)$ à la puissance $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (42 (\sec^{1} (14 x) \sec^{2} (14 x)) \tan (14 x)))$

Étape 4.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (42 {\sec (14 x)}^{1 + 2} \tan (14 x)))$

Étape 4.3.19

Additionnez $1$ et $2$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + \tan (14 x) (42 \sec^{3} (14 x) \tan (14 x)))$

Étape 4.3.20

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + 42 \sec^{3} (14 x) (\tan^{1} (14 x) \tan (14 x)))$

Étape 4.3.21

Élevez $\tan (14 x)$ à la puissance $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + 42 \sec^{3} (14 x) (\tan^{1} (14 x) \tan^{1} (14 x)))$

Étape 4.3.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + 42 \sec^{3} (14 x) {\tan (14 x)}^{1 + 1})$

Étape 4.3.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + 42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x)) + 2744 (42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x) + 42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2744 (14 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x)) + 2744 (42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x)) + 13720 (42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $14$ par $2744$ .

$38416 (\tan^{4} (14 x) \sec (14 x)) + 2744 (42 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x)) + 13720 (42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $42$ par $2744$ .

$38416 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 115248 (\tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)) + 13720 (14 \sec^{5} (14 x)) + 13720 (42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.3.3

Multipliez $14$ par $13720$ .

$38416 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 115248 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x) + 192080 \sec^{5} (14 x) + 13720 (42 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.3.4

Multipliez $42$ par $13720$ .

$38416 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 115248 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x) + 192080 \sec^{5} (14 x) + 576240 (\sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x))$

Étape 4.4.3.5

Réorganisez les facteurs de $115248 \tan^{2} (14 x) \sec^{3} (14 x)$ .

$38416 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 115248 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x) + 192080 \sec^{5} (14 x) + 576240 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x)$

Étape 4.4.3.6

Additionnez $115248 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x)$ et $576240 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x)$ .

$f^{4} (x) = 38416 \tan^{4} (14 x) \sec (14 x) + 691488 \sec^{3} (14 x) \tan^{2} (14 x) + 192080 \sec^{5} (14 x)$