Calcul infinitésimal Exemples

$f' (p) = \frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} (7 p^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d p} [\frac{1}{p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{p}$ et $14700$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{14700}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.3

Comme $14700$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $\frac{14700}{p}$ par rapport à $p$ est $14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}]$ .

$14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{1}{p}$ comme $p^{- 1}$ .

$14700 \frac{d}{d p} [p^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$14700 (- p^{- 2}) + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.2.6

Multipliez $- 1$ par $14700$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{1}{p} \cdot (7 p^{2})]$

Étape 1.3.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 \frac{1}{p} \cdot p^{2}]$

Étape 1.3.3

Associez $- 7$ et $\frac{1}{p}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7}{p} \cdot p^{2}]$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{- 7}{p}$ et $p^{2}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p^{2}}{p}]$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $p^{2}$ et $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Factorisez $p$ à partir de $- 7 p^{2}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p}]$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p^{1}}]$

Étape 1.3.5.2.2

Factorisez $p$ à partir de $p^{1}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Étape 1.3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Étape 1.3.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p}{1}]$

Étape 1.3.5.2.5

Divisez $- 7 p$ par $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 p]$

Étape 1.3.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 7 p$ par rapport à $p$ est $- 7 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \frac{d}{d p} [p]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14700 \frac{1}{p^{2}} - 7$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Associez $- 14700$ et $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\frac{- 14700}{p^{2}} - 7$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (p) = - \frac{14700}{p^{2}} - 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{14700}{p^{2}} - 7$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 14700$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- \frac{14700}{p^{2}}$ par rapport à $p$ est $- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}]$ .

$- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{p^{2}}$ comme ${(p^{2})}^{- 1}$ .

$- 14700 \frac{d}{d p} [{(p^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = p^{- 1}$ et $g (p) = p^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $p^{2}$ .

$- 14700 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 14700 (- u^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $p^{2}$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(p^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 14700 (- p^{2 \cdot - 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 14700 (- p^{- 4} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 4} p) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.7

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$- 14700 (- 2 (p^{1} p^{- 4})) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 14700 (- 2 p^{1 - 4}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 3}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 14700$ .

$29400 p^{- 3} + \frac{d}{d p} [- 7]$

Étape 2.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $p$ est $0$ .

$29400 p^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$29400 \frac{1}{p^{3}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Associez $29400$ et $\frac{1}{p^{3}}$ .

$\frac{29400}{p^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{29400}{p^{3}}$ et $0$ .

$f'' (p) = \frac{29400}{p^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $29400$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $\frac{29400}{p^{3}}$ par rapport à $p$ est $29400 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{3}}]$ .

$29400 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{3}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{p^{3}}$ comme ${(p^{3})}^{- 1}$ .

$29400 \frac{d}{d p} [{(p^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(p^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$29400 \frac{d}{d p} [p^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$29400 \frac{d}{d p} [p^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$29400 (- 3 p^{- 4})$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $29400$ .

$- 88200 p^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 88200 \frac{1}{p^{4}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Associez $- 88200$ et $\frac{1}{p^{4}}$ .

$\frac{- 88200}{p^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (p) = - \frac{88200}{p^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $- 88200$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- \frac{88200}{p^{4}}$ par rapport à $p$ est $- 88200 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{4}}]$ .

$- 88200 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{4}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{p^{4}}$ comme ${(p^{4})}^{- 1}$ .

$- 88200 \frac{d}{d p} [{(p^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(p^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 88200 \frac{d}{d p} [p^{4 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 88200 \frac{d}{d p} [p^{- 4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 88200 (- 4 p^{- 5})$

Étape 4.4

Multipliez $- 4$ par $- 88200$ .

$352800 p^{- 5}$

Étape 4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$352800 \frac{1}{p^{5}}$

Étape 4.5.2

Associez $352800$ et $\frac{1}{p^{5}}$ .

$f^{4} (p) = \frac{352800}{p^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f' (p)$ par rapport à $p$ est $\frac{352800}{p^{5}}$ .

$\frac{352800}{p^{5}}$