Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \tan (2 x) - \sin^{3} (5 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \tan (2 x) - \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$4 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 1.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Étape 1.3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Étape 1.3.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Étape 1.3.8

Multipliez $5$ par $3$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))$

Étape 1.3.9

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) - 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 8 \sec^{2} (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 8 \sec^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (5 x)$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 2.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.7.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.11

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.12

Multipliez $\sin^{2} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.12.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$- 15 (\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.12.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{2} (5 x)$ .

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Étape 2.2.12.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 15 (\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 15 ({\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 15 (\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.13

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sin^{3} (5 x)$ .

$- 15 (- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.15

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.16

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (10 \sin (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.17

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.18

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.2.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sec^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\sec (2 x)$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\sec (2 x)$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $2 x$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\sec (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $2 x$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Étape 2.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Étape 2.3.9

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x))$

Étape 2.3.10

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x))$

Étape 2.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x))$

Étape 2.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))$

Étape 2.3.13

Multipliez $4$ par $8$ .

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x)) - 15 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 15$ .

$75 \sin^{3} (5 x) - 15 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $10$ par $- 15$ .

$75 \sin^{3} (5 x) - 150 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.4

Associez $32$ et $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.5

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.6

Associez.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.7

Multipliez $\cos^{2} (2 x)$ par $\cos (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.4.7.1

Multipliez $\cos^{2} (2 x)$ par $\cos (2 x)$ .

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Étape 2.4.4.7.1.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.4.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{3} (2 x)$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.2

Séparez les fractions.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.3

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.4

Multipliez par $1$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x) \cdot 1} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.5

Séparez les fractions.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ à $\sec^{2} (2 x)$ .

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{1} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 2.4.5.7

Divisez $32$ par $1$ .

$f'' (x) = - 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 150$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 150 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

$- 150 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (5 x)$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (5 x)$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)])) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)])) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (5 x)$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)])) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.7.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.11

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- 150 (\cos^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.12

Multipliez $\cos^{2} (5 x)$ par $\cos (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.12.1

Déplacez $\cos (5 x)$ .

$- 150 (\cos (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{2} (5 x)$ .

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Étape 3.2.12.2.1

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 ({\cos (5 x)}^{1 + 2} \cdot 5 + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 150 (\cos^{3} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.13

Déplacez $5$ à gauche de $\cos^{3} (5 x)$ .

$- 150 (5 \cdot \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.15

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x)))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.16

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.17

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) (\sin^{1} (5 x) \sin (5 x))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.18

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) (\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.2.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $2 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\tan (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\sec^{2} (u_{4})$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $2 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 3.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\sec (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 u_{5} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\sec (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $2 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.7.2

La dérivée de $\sec (u_{6})$ par rapport à $u_{6}$ est $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $2 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.12

Multipliez $\sec^{2} (2 x)$ par $\sec^{2} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.12.1

Déplacez $\sec^{2} (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \cdot 2 + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.12.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.13

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{4} (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.14

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.15

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.17

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.18

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.21

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.22

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x))) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) {\tan (2 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.3.24

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [75 \sin^{3} (5 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $75 \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $75 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{7}$ comme $\sin (5 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (\frac{d}{d u_{7}} [{u_{7}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{7}} [{u_{7}}^{n}]$ est $n {u_{7}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 {u_{7}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{7}$ par $\sin (5 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{8}$ comme $5 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{8}} [\sin (u_{8})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.4.3.2

La dérivée de $\sin (u_{8})$ par rapport à $u_{8}$ est $\cos (u_{8})$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{8}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{8}$ par $5 x$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.4.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Étape 3.4.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Étape 3.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Étape 3.4.8

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 75 (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))$

Étape 3.4.9

Multipliez $15$ par $75$ .

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x)) - 150 (- 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 150 (5 \cos^{3} (5 x)) - 150 (- 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x)) + 32 (4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3

Associez des termes.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $5$ par $- 150$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) - 150 (- 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x)) + 32 (4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3.2

Multipliez $- 10$ par $- 150$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) + 1500 (\cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 32 (2 \sec^{4} (2 x)) + 32 (4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3.3

Multipliez $2$ par $32$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) + 1500 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x) + 32 (4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3.4

Multipliez $4$ par $32$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) + 1500 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x) + 128 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3.5

Réorganisez les facteurs de $1500 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) + 1500 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.5.3.6

Additionnez $1500 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ et $1125 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$- 750 \cos^{3} (5 x) + 2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$

Étape 3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.4

Associez $128$ et $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.5

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{\cos^{2} (2 x)} {(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}^{2} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.7

Associez.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.8

Multipliez $\cos^{2} (2 x)$ par $\cos^{2} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 2}} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.8.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.5.9

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{4}$

Étape 3.5.5.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.5.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.5.12

Associez $64$ et $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \sin^{2} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez par $1$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{4} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.2

Factorisez $\cos^{2} (2 x)$ à partir de $\cos^{4} (2 x)$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.3

Séparez les fractions.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \cdot (1)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)}$ à $\tan^{2} (2 x)$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128 \cdot (1)}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.5

Multipliez $128$ par $1$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.6

Multipliez par $1$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{\cos^{2} (2 x) \cdot 1} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.7

Séparez les fractions.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ à $\sec^{2} (2 x)$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + \frac{128}{1} \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.9

Divisez $128$ par $1$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.10

Multipliez par $1$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{\cos^{4} (2 x) \cdot 1}$

Étape 3.5.6.11

Séparez les fractions.

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$

Étape 3.5.6.12

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ à $\sec^{4} (2 x)$ .

$2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + \frac{64}{1} \sec^{4} (2 x)$

Étape 3.5.6.13

Divisez $64$ par $1$ .

$f''' (x) = 2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 750 \cos^{3} (5 x) + 64 \sec^{4} (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2625$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2625 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $2625 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$2625 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.2

$2625 (\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.7.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.11

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$2625 (\sin^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.12

Multipliez $\sin^{2} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.12.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$2625 (\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.12.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{2} (5 x)$ .

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Étape 4.2.12.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 ({\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2625 (\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.13

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sin^{3} (5 x)$ .

$2625 (- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.15

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.16

Multipliez $5$ par $2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (10 \sin (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.17

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.18

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.2.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $128 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.2

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\tan (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\tan (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\tan (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.4.2

La dérivée de $\tan (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\sec^{2} (u_{5})$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 4.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $\sec (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ est $n {u_{6}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 u_{6} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $\sec (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{7}$ comme $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\sec (u_{7})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.8.2

La dérivée de $\sec (u_{7})$ par rapport à $u_{7}$ est $\sec (u_{7}) \tan (u_{7})$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (u_{7}) \tan (u_{7}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{7}$ par $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2)) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.12

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x))) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.13

Multipliez $2$ par $2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.14

Multipliez $\sec^{2} (2 x)$ par $\sec^{2} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.14.1

Déplacez $\sec^{2} (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (4 \tan (2 x)) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} (4 \tan (2 x)) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.14.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (\sec^{4} (2 x) (4 \tan (2 x)) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.15

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{4} (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \cdot \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.17

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.18

Multipliez $2$ par $2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.19

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.20

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.23

Multipliez $\tan^{2} (2 x)$ par $\tan (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.23.1

Déplacez $\tan (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (4 \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.23.2

Multipliez $\tan (2 x)$ par $\tan^{2} (2 x)$ .

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Étape 4.3.23.2.1

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (4 \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 2} (4 \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.23.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) (4 \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.3.24

Déplacez $4$ à gauche de $\tan^{3} (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 750 \cos^{3} (5 x)]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $- 750$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 750 \cos^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 750 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)] + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 4.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{8}$ comme $\cos (5 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (\frac{d}{d u_{8}} [{u_{8}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{8}} [{u_{8}}^{n}]$ est $n {u_{8}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 {u_{8}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{8}$ par $\cos (5 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{9}$ comme $5 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{9}} [\cos (u_{9})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.3.2

La dérivée de $\cos (u_{9})$ par rapport à $u_{9}$ est $- \sin (u_{9})$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{9}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{9}$ par $5 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.8

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) - 750 (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.4.9

Multipliez $- 15$ par $- 750$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 \sec^{4} (2 x)]$ .

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Étape 4.5.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 \sec^{4} (2 x)$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (2 x)]$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (2 x)]$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 4.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{10}$ comme $\sec (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (\frac{d}{d u_{10}} [{u_{10}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 4.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{10}} [{u_{10}}^{n}]$ est $n {u_{10}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 {u_{10}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 4.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{10}$ par $\sec (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 4.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{11}$ comme $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 \sec^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{11}} [\sec (u_{11})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 4.5.3.2

La dérivée de $\sec (u_{11})$ par rapport à $u_{11}$ est $\sec (u_{11}) \tan (u_{11})$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 \sec^{3} (2 x) (\sec (u_{11}) \tan (u_{11}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 4.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{11}$ par $2 x$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 \sec^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 4.5.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

Étape 4.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

Étape 4.5.6

Multipliez $2$ par $1$ .

Étape 4.5.7

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (4 \sec^{3} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Étape 4.5.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (8 \sec^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Étape 4.5.9

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (8 (\sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x)) \tan (2 x))$

Étape 4.5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (8 {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x))$

Étape 4.5.11

Additionnez $1$ et $3$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 64 (8 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x))$

Étape 4.5.12

Multipliez $8$ par $64$ .

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x)) + 2625 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2625 (- 5 \sin^{3} (5 x)) + 2625 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)) + 128 (4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3

Associez des termes.

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Étape 4.6.3.1

Multipliez $- 5$ par $2625$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 2625 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)) + 128 (4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.2

Multipliez $10$ par $2625$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 26250 (\sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 128 (4 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)) + 128 (4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.3

Multipliez $4$ par $128$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 26250 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x) + 512 (\sec^{4} (2 x) \tan (2 x)) + 128 (4 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.4

Multipliez $4$ par $128$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 26250 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 (\tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.5

Réorganisez les facteurs de $26250 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 26250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.6

Additionnez $26250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ et $11250 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 4.6.3.7

Additionnez $512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$ et $512 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x)$ .

$- 13125 \sin^{3} (5 x) + 37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Étape 4.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.5.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{4} \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.4

Associez $1024$ et $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.5

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.6

Associez.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{4} (2 x) \cos (2 x)} + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.7

Multipliez $\cos^{4} (2 x)$ par $\cos (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.5.7.1

Multipliez $\cos^{4} (2 x)$ par $\cos (2 x)$ .

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Étape 4.6.5.7.1.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{4} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{4 + 1}} + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.7.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + 512 \tan^{3} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.8

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + 512 {(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}^{3} \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + 512 \frac{\sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.10

Associez $512$ et $\frac{\sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec^{2} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.11

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.13

Associez.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.14

Multipliez $\cos^{3} (2 x)$ par $\cos^{2} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.5.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x) \cdot 1^{2}}{{\cos (2 x)}^{3 + 2}} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.14.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.5.15.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x) \cdot 1}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.5.15.2

Multipliez $512$ par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.6.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{5} (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.2

Séparez les fractions.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.3

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.4

Multipliez par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{\cos^{4} (2 x) \cdot 1} \tan (2 x) + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.5

Séparez les fractions.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ à $\sec^{4} (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{1024}{1} \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.7

Divisez $1024$ par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 \sin^{3} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.8

Multipliez par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 (\sin^{3} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{5} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.9

Factorisez $\cos^{3} (2 x)$ à partir de $\cos^{5} (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 (\sin^{3} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.10

Séparez les fractions.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 \cdot (1)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.11

Convertissez de $\frac{\sin^{3} (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ à $\tan^{3} (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512 \cdot (1)}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.12

Multipliez $512$ par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.13

Multipliez par $1$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512}{\cos^{2} (2 x) \cdot 1} \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.14

Séparez les fractions.

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.15

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ à $\sec^{2} (2 x)$ .

$37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + \frac{512}{1} \sec^{2} (2 x) \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$

Étape 4.6.6.16

Divisez $512$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 37500 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 1024 \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) + 512 \sec^{2} (2 x) \tan^{3} (2 x) - 13125 \sin^{3} (5 x)$