Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{π}{6}$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Étape 1.2.3

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ par $1$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.3

Élevez $\sec (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.4

Élevez $\sec (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Étape 2.9

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ et $g (x) = \tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{6})] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.4

Multipliez $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ par $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\sec (x - \frac{π}{6})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.5.3

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $\sec^{4} (x - \frac{π}{6})$ par $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \cdot \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.9

Élevez $\tan (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.10

Élevez $\tan (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan^{1} (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 {\tan (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Étape 3.13

Élevez $\sec (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 3.14

Élevez $\sec (x - \frac{π}{6})$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Étape 3.17

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

Étape 3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

Étape 3.19

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0))$

Étape 3.20

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.20.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1)$

Étape 3.20.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

Étape 3.21

Simplifiez

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Étape 3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

Étape 3.21.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 4 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Étape 3.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) + 2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6})$