Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x^{4}}{4} + \frac{5}{9} x^{3} - x^{2} + 3 x - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{4}}{4} + \frac{5}{9} x^{3} - x^{2} + 3 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{5}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{9} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{5}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.3

Associez $3$ et $\frac{5}{9}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 \cdot 5}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$4 x^{3} + \frac{15}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{15}{9}$ et $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $9$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 (5 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$4 x^{3} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} - 2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{5}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.3

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot 5}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$12 x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{10}{3}$ et $x$ .

$12 x^{2} + \frac{10 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} + \frac{10 x}{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10 x}{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x + \frac{10}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.3

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $1$ .

$24 x + \frac{10}{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x + \frac{10}{3} + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $24 x + \frac{10}{3}$ et $0$ .

$f''' (x) = 24 x + \frac{10}{3}$