Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (2 + 4 x) (3 - 2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 + 4 x$ et $g (x) = 3 - 2 x$ .

$(2 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 - 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 + 4 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 + 4 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 + 4 x) (- 2 \cdot 1) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(2 + 4 x) \cdot - 2 + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $2 + 4 x$ .

$- 2 \cdot (2 + 4 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.11

Déplacez $4$ à gauche de $3 - 2 x$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 \cdot (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 (3 - 2 x) \cdot 1$

Étape 1.2.13

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 (3 - 2 x)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 2 - 2 (4 x) + 4 (3 - 2 x)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 2 - 2 (4 x) + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 - 2 (4 x) + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 4 - 8 x + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 4 - 8 x + 12 + 4 (- 2 x)$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 4 - 8 x + 12 - 8 x$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$- 8 x + 8 - 8 x$

Étape 1.3.3.6

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = - 16 x + 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 16 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$- 16 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 16 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 16$ et $0$ .

$f'' (x) = - 16$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 16$ .

$- 16$