Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{8 t^{2}} - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 t^{2}}$ comme ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.2

Factorisez $8$ à partir de $8 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.3

Appliquez la règle de produit à $8 (t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.4

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.5

Simplifiez

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.6

Comme $8^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8^{\frac{1}{2}} t$ par rapport à $t$ est $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.2.8

Multipliez $8^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8^{\frac{1}{2}} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.2

Comme $8^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (t) = 0$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (t)$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0$