Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \cos (3 x) + \sin^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (3 x) + \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (3 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$2 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (- \sin (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 (- 3 \sin (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$- 6 \sin (3 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 \sin (3 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$- 6 \sin (3 x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 6 \sin (3 x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) - 6 \sin (3 x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 6 \sin (3 x)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 6 \sin (3 x)$

Étape 1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x) - 6 \sin (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) - 6 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (3 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (\cos (3 x) \cdot 3)$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$2 \cos (2 x) - 6 (3 \cdot \cos (3 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 18 \cos (3 x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (2 x) - 18 \cos (3 x)$ .

$2 \cos (2 x) - 18 \cos (3 x)$