Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{1 - 7 x^{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 7 x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{7}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} (7 x^{6})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.2.9

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{3} x^{6}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 (x^{6} x^{3})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{6 + 3}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- 7 x^{7})) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez $x^{7}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 (x^{2} x^{7})) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{2 + 7}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $7$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{9}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x^{9} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $- 21 x^{9}$ et $49 x^{9}$ .

$\frac{3 x^{2} + 28 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{28 x^{9} + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $28 x^{9} + 3 x^{2}$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $28 x^{9}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [28 x^{7} + 3] + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $28 x^{7} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{7}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $7$ par $28$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + 0) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.6

Additionnez $196 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6}) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6} x^{2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6 + 2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{8} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Déplacez $196$ à gauche de $x^{8}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 \cdot x^{8} + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + (28 x^{7} + 3) (2 x)) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 \cdot (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - 7 x^{7} + 1$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 u \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 (- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.8.2

Factorisez $- 7 x^{7} + 1$ à partir de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $- 7 x^{7} + 1$ à partir de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.8.2.2

Factorisez $- 7 x^{7} + 1$ à partir de $- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.8.2.3

Factorisez $- 7 x^{7} + 1$ à partir de $(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Étape 2.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.1

Factorisez $- 7 x^{7} + 1$ à partir de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x^{7} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.11

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{7}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.13

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + 0)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.1

Additionnez $- 49 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6})}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.15.2

Multipliez $- 49$ par $- 2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{2} (28 x^{7} + 3) x^{6}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.16

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 (x^{6} x^{2}) (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{6 + 2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.16.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + (2 (28 x^{7}) + 2 \cdot 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.1.1.1

Multipliez $x^{7}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.1.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x \cdot x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{7}$ .

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Étape 2.17.4.1.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x^{1} x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{1 + 7}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.1.1.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{8}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.1.2

Multipliez $28$ par $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.2

Additionnez $196 x^{8}$ et $56 x^{8}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.3

Développez $(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.17.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8} + 6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.17.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{7} x^{8} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.2

Multipliez $x^{7}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 (x^{8} x^{7}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{8 + 7} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.2.3

Additionnez $8$ et $7$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.3

Multipliez $- 7$ par $252$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{7} x + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.5

Multipliez $x^{7}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.1.4.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x \cdot x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{7}$ .

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Étape 2.17.4.1.4.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x^{1} x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{1 + 7} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.6

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.7

Multipliez $252 x^{8}$ par $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.1.8

Multipliez $6 x$ par $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.4.2

Additionnez $- 42 x^{8}$ et $252 x^{8}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{8} x^{7} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.6

Multipliez $x^{8}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.1.6.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 (x^{7} x^{8}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{7 + 8} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.6.3

Additionnez $7$ et $8$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.7

Multipliez $98$ par $28$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.1.8

Multipliez $3$ par $98$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.2

Additionnez $- 1764 x^{15}$ et $2744 x^{15}$ .

$\frac{980 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.4.3

Additionnez $210 x^{8}$ et $294 x^{8}$ .

$\frac{980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.5

Factorisez $2 x$ à partir de $980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x$ .

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Étape 2.17.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $980 x^{15}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $504 x^{8}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.5.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7})$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17.5.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$