Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

Étape 1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Étape 1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Différenciez.

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Étape 1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.7

Additionnez $2 x + 8$ et $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

Étape 1.6.9

Multipliez $x^{2} + 8 x + 16$ par $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3

Associez des termes.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.6

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.7

Multipliez $8$ par $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.8

Additionnez $6 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.9

Multipliez $8$ par $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.10

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

Étape 1.7.3.11

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 48 x + 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.3.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 x + 48 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $18 x + 48$ et $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 x + 48$ .

$18 x + 48$