Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} i + 2 x j + x k$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i) + 2 x j + x k$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)]$ .

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Étape 1.2.1

Associez $x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} \cdot i] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ et $i$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{2 i}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} i}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.10

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 i}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.11

Multipliez $\frac{2 i}{3}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 i (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.14

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.2.15

Divisez $i x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x j]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 j$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x j$ par rapport à $x$ est $2 j \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + \frac{d}{d x} [x k]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x k]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x k$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$f' (x) = i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$ .

$\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $i$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $i x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$i (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$i \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.9

Associez $i$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{i x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.2.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2 j$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 j$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + \frac{d}{d x} [k]$

Étape 2.3.2

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$