Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = 3 + 2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2.7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$ par rapport à $t$ est $2.7 \frac{d}{d t} [\sin (1.3 t + 0.9)]$ .

$0 + 2.7 \frac{d}{d t} [\sin (1.3 t + 0.9)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 1.3 t + 0.9$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1.3 t + 0.9$ .

$0 + 2.7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + 2.7 (\cos (u) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1.3 t + 0.9$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1.3 t + 0.9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Étape 1.2.4

Comme $1.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1.3 t$ par rapport à $t$ est $1.3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Étape 1.2.6

Comme $0.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + 0))$

Étape 1.2.7

Multipliez $1.3$ par $1$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 + 0))$

Étape 1.2.8

Additionnez $1.3$ et $0$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) \cdot 1.3)$

Étape 1.2.9

Déplacez $1.3$ à gauche de $\cos (1.3 t + 0.9)$ .

$0 + 2.7 (1.3 \cdot \cos (1.3 t + 0.9))$

Étape 1.2.10

Multipliez $1.3$ par $2.7$ .

$0 + 3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$ .

$f' (t) = 3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $3.51$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$ par rapport à $t$ est $3.51 \frac{d}{d t} [\cos (1.3 t + 0.9)]$ .

$3.51 \frac{d}{d t} [\cos (1.3 t + 0.9)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 1.3 t + 0.9$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1.3 t + 0.9$ .

$3.51 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$3.51 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1.3 t + 0.9$ .

$3.51 (- \sin (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3.51$ .

$- 3.51 (\sin (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1.3 t + 0.9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9])$

Étape 2.3.3

Comme $1.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1.3 t$ par rapport à $t$ est $1.3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.9])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.9])$

Étape 2.3.5

Multipliez $1.3$ par $1$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 + \frac{d}{d t} [0.9])$

Étape 2.3.6

Comme $0.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $1.3$ et $0$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) \cdot 1.3$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $1.3$ par $- 3.51$ .

$f'' (t) = - 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$

Étape 3

La dérivée seconde de $h (t)$ par rapport à $t$ est $- 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$ .

$- 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$